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§3 柱面方程与柱面坐标 一 母线平行于坐标轴的柱面方程 1 定义:一动直线l在运动过程中,总是平行于一定方向V。,且总与一曲线c相交,则l的运动轨迹称为柱面,其中V。——柱面的方向,c——柱面的准线,l的任一位置——柱面的母线。 2 方程及特征: 定理:在空间坐标系下,三元方程F(x,y,z)=0为一母线,平行于z轴的柱面的方程 〈═〉该方程同解于一关于x,y的二元方程f(x,y)=0
证: "═〉"设三元方程F(x,y,z)为一母线平行于z轴的柱面Σ的方程,则Σ与 其中f(x,y)≡F(x,y,0),可以证明M(x,y,z)∈Σ〈═〉M点的坐标满足f(x,y)=0, ∴f(x,y)=0是Σ的方程,从而F(x,y,z)=0与 f(x,y)=0同解。 "〈═"若F(x,y,z)=0同解于f(x,y)=0,记以c: ∴f(x,y)=0表示柱面Σ,从而F(x,y,z)=0亦表示柱面Σ
例:在直角坐标系下,圆柱面
(图2.4)
(图2.5)
(图2.6) (图2.7)
二 柱面坐标: 1 圆柱面的参数方程: 设圆柱面Σ的中心轴重合于z轴,半径=R 对 θ=∠(i,OP′),则 r= 而 |
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