极坐标求面积和旋转体体积

题目：设平面区D由曲线 r=1+\cos \theta 所围成，试求：

(1)区域D的面积；

(2)区域D绕极轴旋转一周所得旋转体的体积；

\begin{align} 解：S&=\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1+\cos\theta}rdr\\ &=\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}(1+\cos\theta)^2 d\theta\\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} 1+2\cos\theta +\cos^2\theta \ d\theta\\ &=\frac{1}{2} (\ x+2\sin\theta|_{0}^{2\pi} +4\int_{0}^{\frac{1}{2}\pi}\cos^2\theta d \theta)\\ &=\frac{3}{2}\pi \end{align}

\begin{align} V&=\int_{0}^{\pi}d\theta \int_{0}^{1+\cos\theta}2\pi r \sin\theta rdr\\ &=2\pi\int_{0}^{\pi}d\theta \int_{0}^{1+\cos\theta} r^2 \sin\theta dr\\ &=-2\pi\int_{0}^{\pi} \frac{(1+\cos \theta)^3}{3} \ d \cos\theta\\ &=2\pi\int_{-1}^{1} \frac{(1+t)^3}{3} \ d t\\ &=\frac{8}{3}\pi \end{align}

分析：题目给出图形为♥型线，关于X轴对称，因此第二问要变更区间。

r=1+\cos \theta

r^2=\cos 2\theta