特征值和特征向量的实际意义

本文转自知乎大牛。 从定义出发，Ax=cx：A为矩阵，c为特征值，x为特征向量。 矩阵A乘以x表示，对向量x进行一次转换（旋转或拉伸）（是一种线性转换），而该转换的效果为常数c乘以向量x（即只进行拉伸）。 我们通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量（当然是特征向量）只发生拉伸，使其发生拉伸的程度如何（特征值大小）。这样做的意义在于，看清一个矩阵在那些方面能产生最大的效果（power），并根据所产生的每个特征向量（一般研究特征值最大的那几个）进行分类讨论与研究。

更新与2015.12.02 今天无意中看到了这篇介绍，感觉讲的很清晰，特与大家分享！ 连接：http://jingyan.baidu.com/article/3065b3b68c6bb6becff8a488.html 大学中都学过矩阵，是不是矩阵感觉很抽象，晦涩难懂，和生活实际挂不上边，其中矩阵有一个叫特征向量的东西，只要学过矩阵的，都会求它，但是他是做什么的，书本上却没说，只是说相当有用，但是在何处用，大家只能说 I do not know ,这里给大家说明下，特征向量的几何意义，让大家一目了然

工具/原料 纸 笔 记得带着脑子哦 方法/步骤 如果说一个向量v是方阵A的特征向量，将一定可以表示成下面的形式：

这时候λ就被称为特征向量v对应的特征值，一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式：

其中Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵，Σ是一个对角阵，每一个对角线上的元素就是一个特征值。首先，要明确的是，一个矩阵其实就是一个线性变换，因为一个矩阵乘以一个向量后得到的向量，其实就相当于将这个向量进行了线性变换。比如说下面的一个矩阵：

它其实对应的线性变换是下面的形式：

因为这个矩阵M乘以一个向量(x,y)的结果是：

上面的矩阵是对称的，所以这个变换是一个对x，y轴的方向一个拉伸变换（每一个对角线上的元素将会对一个维度进行拉伸变换，当值>1时，是拉长，当值