考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷22(题后含答案及解析)

考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷

22

(

题后含答案及

解析

) 

题型有：

1. 

选择题

2. 

填空题

3. 

解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1

．

设三阶矩阵

A

的特征值是

0

，

1

，

一

1

，

则下列选项中不正确的是

( 

) 

A

．矩阵

A

—

E

是不可逆矩阵。

B

．矩阵

A+E

和对角矩阵相似。

C

．矩阵

A

属于

1

与一

1

的特征向量相互正交。

D

．方程组

Ax=0

的基础解系由一个向量构成。

正确答案：

C 

解析：因为矩阵

A

的特征值是

0

，

1

，一

1

，所以矩阵

A

一

E

的特征值是一

1

，

0

，一

2

。由于λ

=0

是矩阵

A

—

E

的特征值，所以

A

—

E

不可逆。因为矩阵

A+E

的特征值是

1

，

2

，

0

，矩阵

A+E

有三个不同的特征值，所以

A+E

可以相似

对角化

(

或由

A

～Λ

=; A+E

～Λ

+E

而知

A+E

可相似对角化

)

。由矩阵

A

有一

个特征值等于

0

可知

r(A)=2

，

所以齐次线性方程组

Ax=0

的基础解系由

n

—

r(A)=3

—

2=1

个解向量构成。选项

C

的错误在于，若

A

是实对称矩阵，则不同特征值

的特征向量相互正交，

而一般

n

阶矩阵，

不同特征值的特征向量仅仅线性无关并

不一定正交。故选

C

。

知识模块：矩阵的特征值和特征向量

2

．

设λ

=2

是非奇异矩阵

A

的一个特征值，则矩阵有特征值

( 

) 

A

．

B

．

C

．

D

．

正确答案：

B 

解析：因为

A

为

A

的非零特征值，所以λ

2

为

A2

的特征值，为

(A2)

—

1

的

特征值。因此的特征值为。故选

B

。

知识模块：矩阵的特征值和特征向量

3

．

设λ

1

，

λ

2

是矩阵

A

的两个不同的特征值，

对应的特征向量分别为α

1

，

α

2

，则α

1

，

A(

α

1+

α

2)

线性无关的充分必要条件是

( 

) 

A

．λ

1

≠

0

。

B

．λ

2

≠

0

。

C

．λ

1=0

。

D

．λ

2=0

。