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傅里叶变换中,圆频率w与频率f之间的公式转化

2024-06-12 07:56| 来源: 网络整理| 查看: 265

信号处理中,最常用的傅里叶变换公式中,变换关系式如下: 在这里插入图片描述 在傅里叶变换时,自变量是圆频率/角频率与时间之间的转换: 在这里插入图片描述 而有时我们要得到的关系是以频率f为自变量的表达式,这时我们有时会常常就变换式前面的系数是否有1/2pi 而纠结,今天我就解释一下这个问题:

1.首先说明一下关于函数名的意义,即F(w)中的F代表的含义。函数名是函数的代号,它代表的是由自变量到函数值之间的映射关系(规律),举例来说;f(x)=4x+1,中的f代表将自变量乘以4之后再加1的一种运算。而f(x)=6xx+1中的f则代表将自变量平方以后,再乘以6,之后再加1的运算。只要对自变量施加的运算法则一样,我们同样可以写为g(x)=4x+1,g(x)=6xx+1。也就是不要太纠结到底是 f 还是 g 还是 F,关键看后面施加的运算法则。

2.回到开始的公式,常用的傅里叶变换公式得到一个自变量为w的函数,其函数值代表该信号在圆频率为w处的频率分量,显然圆频率w=w0处的函数值,应该与频率f=w0/(2*pi)处的函数值相等,因为在实际的物理意义上它们代表着同一种频率。由此可得下面的推导。 在这里插入图片描述 几点说明:1)从F1(f)的公式到F(f)的公式,其实就是一个书写习惯的问题,这个不能太钻牛角尖,可以参考我们学习反函数时候,最后结果是x=f(y)的,往往按照习惯要写成y=f(x)的形式,而这时候就是直接把x=f(y)里的x直接写为y,y直接写为x的。2)遇到感觉有些混淆概念的公式,不妨先多拆几个函数写,然后看施加的运算法则是不是一样的。

3.附上傅里叶里面这几个角频率和频率分别表示的几个公式,方便推导理解: 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 正变换w和f之间推导在上面说了,反变换推导如下: 在这里插入图片描述 以上就是全部,希望对大家有帮助,有说的不对地方也希望大家指正。 附:有关于傅里叶变换中实际物理频率,角频率,圆周频率,归一化频率的区别,推荐看看这篇介绍:https://www.sohu.com/a/122159699_464086



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