光学原理回顾：光学系統中重要的参数（一.光学系统特征与定义）

本篇文章来自课程笔记：辅仁大学物理系，萧金廷教授，应用光学，2021.03.10

结合授课内容与以往笔记加以补充。

前一篇文章中总结了透镜与成像相关的参数含义与现象，本篇文章进一步针对光学系统整体上的重要参数进行归纳总结。

对于相机或者透镜，通常用视场角（Field of view）来描述其观测范围。视场角在光学工程中又称视场，视场角的大小决定了光学仪器的视野范围。视场角又可用FOV表示，通常用全角描述视场角大小，但是又会以光轴为基准的正负值表示视场角。如下图所示，视场角为 2\theta ，同样可以表示为 \pm\theta 。

视场（角度）计算公式：

FOV=2\theta=2tan^{-1}\left[{\frac{d}{2f}}\right]\tag{1}

其中 f 为焦距， d 为像的半高。该公式最大边界值到 FOV=110\sim120° ，当视角范围扩展到鱼眼镜头or广角镜头中，若视角更大，由于 tan\theta=\frac{d}{2f} ，会产生焦距小于镜片厚度、焦距为0甚至负数的情况，因此视场角公式不适用超大视角光学系统设计。

感测器面积小，意味着同等视角下焦距可以更小，相应的相机机械结构大小可以做的更小，这便是针孔相机的镜头特点。而相应的是，依据阿贝分辨率极限：d=\frac{\lambda}{2NA}=2f\frac{\lambda}{D}\tag{2}

d 为最小分辨空间距离， f 为焦距， \lambda 为波长， D 为光学系统光瞳孔径。由于感测器变小，光瞳孔径 D 相应变小，最小分辨空间距离 d 变大，因此针孔相机等小光瞳孔径成像系统天生分辨率就受到解析度物理极限限制，影像解析度上的提升空间不大。

同样的道理，手机镜头由于孔径的限制，天生其解析度受到物理衍射极限的限制比单反更大，而现阶段手机拍照，更多的是在拍照后在手机上通过软件算法对其成像进行优化，获得比较好的影像效果。

这里稍微介绍一下单反相机镜头、手机镜头和广角/鱼眼镜头设计：

单反相机的镜头通常是Double Gauss种类的镜组，大概架构长这个样子：

光瞳/光圈放在镜组中间，左右各两片镜组。但这是最简单的单反镜头架构，实际上针对不同的变焦需求，其镜组会变得相当复杂：

总之，单反相机的镜组，就是为了相应目的（焦长、景深等）的成像效果，做出的最极致优化。不过单反相机内有一个光学元件不参与成像，那就是取景器中的五棱镜（penta prism）。五棱镜是单反相机取景的反光装置，可以将入射的光线偏转90°，即使五棱鏡位置稍有偏轉，也不影響射出光線角度。其作用是将对焦屏上左右颠倒的图像矫正过来，使取景看到的图像与直接看到的景物方位完全一致，使操作者能够正确地取景和对焦。在快门开启时，反光镜向上翻让出光路，五棱镜中不透光。

有人可能有疑问：直接用影像感测元件作为取景器从屏幕上取景不就可以省了这个部件？然而这样就会需要快门一直都是开启状态，感测器上一直接收到大量的光讯号，若是把快门关闭、感测器电讯号复位再打开，就影响快门速度了。因此在专业摄影设备上，五棱镜构成的取景器仍然是不可缺失的一部分。

手机镜头相对来说是一种设计上结构比较简单的：

光瞳放在最前方，其他镜片依次向后排。这是目前手机上常见的定焦镜头的设计路数。

在手机上的变焦镜头的设计最近又热络起来。最早在手机上用变焦镜头的，看到的资料是2004 年，夏普推出 V602SH 手机，这是首款支持 2 倍光学变焦的手机。

后来诺基亚、索爱、三星等品牌，均推出过支持多倍变焦的手机。这些手机有一个共性，就是镜头模组巨大。

再后来直到 2015 年，华硕推出 Zenfone Zoom 鹰眼手机，它与日本知名光学元件公司 HOYA 合作，采用了潜望式镜头方案，通过棱镜将光路折射至手机内部，如此一来大大减少了镜头模组的厚度。该手机也成为彼时最薄的光学变焦手机。

当然每种镜头都有长处和短处，因此这里并不争论变焦镜头是否就更好。从一个光机系统设计者的角度来看，用料是否良心、优化是否得当直接决定着这个镜头是否能够完整的展现其优势。手机镜头通常是作为光学材料的塑料射出成形，对于一片透镜，需要针对两个光学平面进行开模。这里的成本一个平面的模仁至少几千人民币，一个千万级像素的镜组至少五片透镜/非球面镜，意味着至少十个模仁，外加配合模仁的模架，随便一次设计的打样就可能是十几万的成本，若设计有缺陷反复修改、打样，一个镜头都还没卖出去就喷这么多钱，老板哭晕在厕所里......

（虽然在CODE V 范例里面都能找到一些镜头的设计数据，但是制造一个镜头仍然不是件简单的事）

鱼眼镜头可以说是成像系统里面的怪胎，从下图中我们都能够看出，不同视角入射的光，存在严重的畸变，硬生生将一个曲面的影像拉成平面。广角/鱼眼镜头具有较大像差，在后期算法中需要校正或处理。也是由于近年来针对影像处理的算法日益成熟，鱼眼镜头的市场才逐渐被打开来。

F/#或F-number，用来描述光圈的大小。光圈（英语：Aperture），是光学成像系统上用来控制镜组孔径大小的部件，以控制景深、镜头成像素质、以及和快门协同控制进光量。

F/#标准定义需要结合后面章节6.入瞳、出瞳的内容进行解释。

- 光圈越大（即f值越低），散景程度越浓。

- 光圈越小（即f值越高），对焦范围越大（景深）。

- 进入感应器的光线量可透过张开／收窄光圈控制。

光圈张开时，会有较多光线能够进入；当光圈被收窄，能够进入镜头的光线便较少。

代表光圈大小的数值称为f值，而标准f值包括f/1.4、f/2、f/2.8、f/4、f/5.6、f/8等。

打开光圈会减低f值，收窄光圈则会令提高f值。

当f值改变时，不但进入相机的光量会随之而改变，影像的对焦范围大小亦会改变。

f值越低，对焦范围越小。f值越高，对焦范围便越大。后者会产生整个背景都十分清晰的相片。

这里需要强调两个概念：景深和光圈与f值度数之间的关系

对焦距离越近，散景效果亦会越明显。焦距范围（即影像中有多大部分处于对焦范围中）称为「景深」。此范围较小时，称为「景深较浅」。同样地，当此范围较大时，便称为「景深较深」。

A:前景景深 B:背景景深 C:对焦位置以比例表示的话，从对焦位置到前景景深的距离与从对焦位置到背景景深的距离比例为1:2（前景：背景）。

摄影师通常把曝光设定称为「f值度数」，它让您能调整进入相机的光线量。这些设定又称为「EV」或曝光值。将光圈提高一度会令进入相机的光线量减半。相反，将光圈下降一度会令进入相机的光线量增加一倍。在大部分单反数码相机上，除了标准的一度外，您亦可以设定间距为1/2及1/3的度数。例如把度数设定为1/3间距段，f/2.8与f/4之间的一度便会分为三部分，变成f/2.8→f/3.2→f/3.5→f/4。使用1/3度让您能微调进入相机的光线量。

有些变焦镜头的f值范围为f/3.5-5.6。它们又名「可变光圈变焦镜头」，光圈会随焦距改变。以EF24-105mm f/3.5-5.6 IS STM为例，广角端（24毫米）的光圈（f值）为f/3.5，而远摄端（105毫米）的光圈则是f/5.6。光圈不会随焦距改变的镜头又名「固定光圈变焦镜头」。手机的光圈通常是固定的。

\text{F/#} 的重要性：调整F#可以调整影像的光强强度：

I∝\frac{1}{{\text{(F/#)}}^2}\tag{3}

其中光照强度 I （Image intensity）单位为 watt/cm^2

另外大家可以发现，F-number的数值有零有整。原因也是出在系统接收光照强度的计量上：光照强度不变，光照功率变为两倍，则光学系统的光圈直径需要扩大 \sqrt{2} 背，这样进光量面积增大2倍才能获得两倍的光照功率。

F/1.0 F/1.4 F/2.0 F/3.8 F/4.0 F/5.6 F/8 F/11 F/16 F/22→呈等比数列

同等原因半导体制程中也有此规律：28nm 20nm 14nm 10nm 7nm 5nm 3nm

光学系统的数值孔径（NA）是一个无量纲的数，用以衡量该系统能够收集的光的角度范围。在光学的不同领域，数值孔径的精确定义略有不同。在光学显微镜领域，数值孔径描述了物镜收光锥角的大小，而后者决定了显微镜收光能力和空间分辨率。

通常来说，数值孔径也是可以通过调整光学元件以外的某些手段改变的：

NA=n'sin\ \theta'_{max}\tag{4}

其中 n’ 为介质折射率， \theta'_{max} 为光锥夹角（slope angle）。在显微镜领域，为了达成某些需要对NA值进行调整的成像解析目的，有时候也会在待测物和物镜之间滴液体或涂布介质来改变折射率进而控制数值孔径。

数值孔径与f-number本质上都是描述光学系统收光能力的参数，之间可以换算：

\text{F/#}=\frac{1}{2NA}\tag{5}

二者的区别是NA值主要用来描述显微镜透镜这类高倍率成像系统的解析力，NA值越大光锥夹角越大，解析力越好（通常放大倍率也越大），f值主要用来描述相机这类低倍率成像系统的景深，f值越大景深越长。但二者并不冲突，倍率越高的物镜其景深也越浅。

这一定律主要针对视场不同位置上的光强度分布：

I_{A'}=COS^4\alpha I_{o'}\tag{6}

其中 \alpha \equiv chief-ray-angle\equiv CRA ，即主光线角度。需要注意的是，CRA通常适用于CMOS或CCD之类的电子元件，对于传统的胶片底片不太受此参数影响，通常光学镜头中， CRA\leq20°

在成像光学系统中，光圈（Aperture Stop，AS）也称为光阑（Field stop），物如其名，光线在这个位置上有选择的“停止”，这里的停止是完全被遮挡住，而没有被遮挡住的部分依然依照原路径方向前进。通过光阑的光线不考虑其衍射因素，因为其直径远大于波长，几何光学行为影响远大于衍射现象。

在前面针对F-number的介绍中提到了F-number是描述光圈的大小。而在 cos^4 -Law中， I'_0 处的最小光强由光圈（AS）控制或决定。光阑的位置、大小决定很多成像特性，包括成像的最终品质、进入成像面的光线。光阑的位置非常重要。离光圈越远的镜片，直径越大，光圈是光学系统中直径最小的元件，决定了最终成像光线的数量与像的大小。

F/#的标准定义：

\text{F#}=\frac{f}{D(entrance\ pupil\ diameter)}\tag{7}

入瞳：光圈位置作为物面（real object），逆光线方向推回光圈前部分镜组的像平面形成的像（虚像）的大小，即：image of the AS though the front partial optical elements.

入瞳相当于光学系统的光线进入的前门。

出瞳：光圈位置作为物面（real object），顺光线方向通过光圈后部分镜组的像平面形成的像（虚像）的大小，即image of the AS though the back partial optical elements.

出瞳相当于光学系统的光线离开的后门（离开后到达成像面）。

由于是虚像，因此入瞳平面在光瞳后，出瞳平面在光瞳前。这个前后门颠倒很容易给人造成混乱感，新手学习请注意。

主光线：入瞳光线中，所有经过光瞳中心的光线，称为主光线（Chief ray）

Beam（for everyone angle，such as 30°......） →one ray passing through the center of Aperture Stop

主光线代表一个视场/视角发射的光，由于菲涅尔惠更斯原理：

因此主光线只是由物面传播向像面的若干条光线之一，其特征为经过光瞳中心，正是由于这个特征，主光线能够直接表示出物与像各点之间不同视场上的共轭关系。

主光线与光轴的夹角称为主光线角度，CRA（Chief ray angle）

边缘光线：经过光圈最边缘的光线，称为边缘光线（Marginal ray）。主光线可以描述物与像的共轭特征，而边缘光线则可以描述光线经过光机系统、从物到像的次级子波波前传播的边缘。通常我们看到的光学系统，就是通过若干个视场，不同视场的一条主光线、两正交方向的两对（四条）边缘光线，来描述一个光学系统。例如下图的一个CODE V手机定焦镜头优化案例：

当然也可以增加更多的光线数目显示，但是主要的信息均在边缘光线、主光线中，显示更多的光线并无任何益处（当然也没什么坏处，就是没什么意义而已）。

接下一篇：