求圆和椭圆上任意角度的点的坐标

如上图，给定圆心（Cx,Cy）,半径为R， 求 θ \theta θ对应的点的坐标？ 此处 θ \theta θ是相对于水平轴的角度。

显然我们可以使用极坐标转换来求： { p x = C x + R c o s ( θ ) p y = C y + R s i n ( θ ) \left\{\begin{matrix} px= Cx+Rcos(\theta) \\ py= Cy+Rsin(\theta) \end{matrix}\right. {px=Cx+Rcos(θ)py=Cy+Rsin(θ)​ 注意如果以上竖直坐标系向下，此时变为图像的坐标系，即

结果变成：

{ p x = C x + R c o s ( θ ) p y = C y − R s i n ( θ ) \left\{\begin{matrix} px= Cx+Rcos(\theta) \\ py= Cy-Rsin(\theta) \end{matrix}\right. {px=Cx+Rcos(θ)py=Cy−Rsin(θ)​ 仅仅是y变了。

首先我们先来考虑标准椭圆上任意角度的点的坐标，再进行推广。

已知主轴a（即椭圆箭头所指方向对应的轴）,次轴b,求解与水平轴相交 θ \theta θ对应的点的坐标？ { x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 y x = tan ⁡ ( θ ) \left\{\begin{matrix} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2};=;1 \\ \frac{y}{x}; =; \tan(\theta) \end{matrix}\right. {a2x2​+b2y2​xy​​==​1tan(θ)​ 将上面的第二式带入第一式，可以求解得到： x 2 = a 2 b 2 b 2 + a 2 tan ⁡ 2 ( θ ) x^2=\frac{a^2b^2}{b^2+a^2\tan^2(\theta)} x2=b2+a2tan2(θ)a2b2​ 这时我们考虑 θ \theta θ的范围，可以得到： (一). 0 ≤ θ ; p i / 2 0\leq\theta;pi/2 0≤θx=0y=−b​ 再考虑一般情况下的椭圆，如下：

如上 θ ∈ [ 0 , 2 ∗ p i ] \theta\in[0,2*pi] θ∈[0,2∗pi]是相对于主轴的角度， α ∈ [ − p i , p i ] \alpha\in[-pi,pi] α∈[−pi,pi], 不过我们一般仅仅考虑 α ∈ [ 0 , p i ] \alpha\in[0,pi] α∈[0,pi],求 θ \theta θ对应的点的坐标？

基本思路就是先转换成标准椭圆，再应用标准椭圆下的结果。

显然我们需要将以上椭圆的中心移到原点，再绕原点旋转 − α -\alpha −α ,即顺时针旋转 α \alpha α，即： ( x y ) = R ( ( X Y ) − ( X c Y c ) ) \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=R(\begin{pmatrix} X\\ Y \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} X_c\\Y_c \end{pmatrix}) (xy​)=R((XY​)−(Xc​Yc​​)) 其中 R = ( c o s ( − α ) − s i n ( − α ) s i n ( − α ) c o s ( − α ) ) = ( c o s ( α ) s i n ( α ) − s i n ( α ) c o s ( α ) ) R=\begin{pmatrix} cos(-\alpha) ;-sin(-\alpha) \\ sin(-\alpha) ; cos(-\alpha) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos(\alpha) ;sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) ; cos(\alpha) \end{pmatrix} R=(cos(−α)sin(−α)​−sin(−α)cos(−α)​)=(cos(α)−sin(α)​sin(α)cos(α)​) 因此 ( X Y ) = R − 1 ( x y ) + ( X c Y c ) \begin{pmatrix} X\\ Y \end{pmatrix} =R^{-1}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} X_c\\Y_c \end{pmatrix} (XY​)=R−1(xy​)+(Xc​Yc​​) 其中 R − 1 = R T = ( c o s ( α ) − s i n ( α ) s i n ( α ) c o s ( α ) )                             ( ★ ) R^{-1}=R^{T}=\begin{pmatrix} cos(\alpha) ;-sin(\alpha) \\ sin(\alpha) ; cos(\alpha) \end{pmatrix}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(\bigstar) R−1=RT=(cos(α)sin(α)​−sin(α)cos(α)​)                           (★) 这样将前面 ( x y ) \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} (xy​) 的四个结果应用过来，即得到倾斜的椭圆上的对应角度的点的坐标。

扩展：

问题：

一，为什么不用atan？

答：atan的范围是[-π/2,π/2]，atan2的范围是(-π,π]。前者只能表示两个象限，后者可以表示4个。

二，为什么不atan2(a*tan(radian),b)?

答：这样写，和用atan的效果一样。