【数学建模】灰色预测及Python实现

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【数学建模】灰色预测及Python实现

2024-07-11 09:28| 来源: 网络整理| 查看: 265

关键词：灰色预测、Python、pandas、numpy

一、前言

本文的目的是用Python和类对灰色预测进行封装

二、原理简述

1.灰色预测概述

灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类： (1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。 (2) 畸变预测（灾变预测）。通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。 (3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。 (4) 系统预测，对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节的变化。上述灰色预测方法的共同特点是：（1）允许少数据预测；（2）允许对灰因果律事件进行预测，例如：灰因白果律事件：在粮食生产预测中，影响粮食生产的因子很多，多到无法枚举，故为灰因，然而粮食产量却是具体的，故为白果。粮食预测即为灰因白果律事件预测。白因灰果律事件：在开发项目前景预测时，开发项目的投入是具体的，为白因，而项目的效益暂时不很清楚，为灰果。项目前景预测即为灰因白果律事件预测。（3）具有可检验性，包括：建模可行性的级比检验（事前检验），建模精度检验（模型检验），预测的滚动检验（预测检验）。

2.GM(1,1)模型理论

GM(1,1)模型适合具有较强的指数规律的数列，只能描述单调的变化过程。已知元素序列数据： $x^{(0)}=(X^{(0)}(1),X^{(0)}(2),...,X^{(0)}(n))$

做一次累加生成（1-AGO）序列：

$x^{(1)}=(X^{(1)}(1),X^{(1)}(2),...,X^{(1)}(n))$ 其中

， $x^{(1)}(k)=\sum_{i=1}^kx^{(0)}(i), \quad k=1,...,n$

令 $Z^{(1)}$ 为 $X^{(1)}$ 的紧邻均值生成序列：

$Z^{(1)}=(z^{(1)}(2), z^{(1)}(3), ...,z^{(1)}(n))$

其中，

$z^{(1)}(k)=0.5x^{(1)}(k)+0.5x^{(1)}(k-1)$

建立GM(1,1)的灰微分方程模型为：

$x^{(0)}(k)+az^{(1)}(k)=b$

其中， $a$ 为发展系数， $b$ 为灰色作用量。设 $\hat{a}$ 为待估参数向量，即 $\hat{a}=(a,b)^T$ ，则灰微分方程的最小二乘估计参数列满足 $\hat{a}=(B^TB)^{-1}B^TY_n$

其中

$B=\left[ \begin{matrix} -z^{(1)}(2) , 1 \\ -z^{(1)}(3) , 1 \\ ... , ... \\ -z^{(1)}(n) , 1 \end{matrix}\right]， Y_n=\left[ \begin{matrix} x^{(0)}(2)\\ x^{(0)}(3) \\ ... , \\ x^{(0)}(n) \end{matrix}\right]$ 再建立灰色微分方程的白化方程（也叫影子方程）：

$\frac{dx^{(1)}}{dt}+ax^{(1)}=b$

白化方程的解（也叫时间响应函数）为

$\hat{x}^{(1)}(t)=(x^{(1)}(0)-\frac{b}{a})e^{-at}+\frac{b}{a}$

那么相应的GM(1,1)灰色微分方程的时间响应序列为：

$\hat{x}^{(1)}(k+1) = [x^{(1)}(0)-\frac{b}{a}]e^{-at}+\frac{b}{a}$ 取 $x^{(1)}(0)=x^{(0)}(1)$ ，

则 $\hat{x}^{(1)}(k+1)=[x^{(0)}(1)-\frac{b}{a}]e^{-ak}+\frac{b}{a},\quad k=1,....n-1$

再做累减还原可得

$\hat{x}^{(0)}(k+1)=\hat{x}^{(1)}(k+1)-\hat{x}^{(1)}(k)=[x^{(0)}(1)-\frac{b}{a}](1-e^a)e^{-ak}, \quad k=1,...,n-1$ 即为预测方程。

注1：原始序列数据不一定要全部使用，相应建立的模型也会不同，即 $a$ 和 $b$ 不同；

注2：原始序列数据必须要等时间间隔、不间断。

3.算法步骤

(1) 数据的级比检验为了保证灰色预测的可行性，需要对原始序列数据进行级比检验。对原始数据列 $X^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),...,x^{(0)}(3))$ ，

计算序列的级比： $\lambda(k)=\frac{x^{0}(k-1)}{x^{(0)}(k)}, \quad k=2,...,n$

若所有的级比 $\lambda(k)$ 都落在可容覆盖 $\Theta=(e^{-2/(n+1)},e^{2/(n+2)})$ 内，则可进行灰色预测；否则需要对 $X^{(0)}$ 做平移变换， $Y^{(0)}=X^{(0)}+c$ ，使得 $Y^{(0)}$ 满足级比要求。

(2) 建立GM(1,1)模型，计算出预测值列。

(3) 检验预测值：

① 相对残差检验，计算

$\varepsilon(k)=\frac{x^{(0)}(k-1)}{x^{(0)}(k)}, \quad k=2,...,n$

若 $\varepsilon(k)0.2$ ，则认为达到一般要求，若 $\varepsilon(k)0.1$ ，则认为达到较高要求；

② 级比偏差值检验

根据前面计算出来的级比 $\lambda(k)$ , 和发展系数 $a$ , 计算相应的级比偏差：

$\rho(k)=1-(\frac{1-0.5a}{1+0.5a})]\lambda(k)$

若 $\rho(k)0.2$ , 则认为达到一般要求，若 $\rho(k)0.1$ , 则认为达到较高要求。

(4) 利用模型进行预测。

三、程序实现 1.引入需要的包 import pandas as pd import numpy as np %matplotlib inline import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib matplotlib.rcParams['font.sans-serif'] = ['FangSong'] # 指定默认字体 matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的问题

下面的matplotlib是作图用的，如果不做图可以不用引入

2.构建大致框架

灰色建模的主体应该分为几步：（1）引入、整理数据（2）校验数据是否合格（3）GM(1,1)建模（4）将最新的预测数据当做真实值继续预测（5）输出结果因此打好的框架如下：

class GrayForecast(): #初始化 def __init__(self, data, datacolumn=None): pass #级比校验 def level_check(self): pass #GM(1,1)建模 def GM_11_build_model(self, forecast=5): pass #预测 def forecast(self, time=5, forecast_data_len=5): pass #打印日志 def log(self): pass #重置 def reset(self): pass #作图 def plot(self): pass 3.__init__

作为初始化的方法，我们希望它能将数据格式化存储，并且可使用的类型越多越好，在这里我先实现能处理三种类型：一维列表、DataFrame、Series。如果处理DataFrame可能会出现不止一维的情况，于是设定一个参数datacolumn，用于处理传入DataFrame不止一列数据到底用哪个的问题

def __init__(self, data, datacolumn=None): if isinstance(data, pd.core.frame.DataFrame): self.data=data try: self.data.columns = ['数据'] except: if not datacolumn: raise Exception('您传入的dataframe不止一列') else: self.data = pd.DataFrame(data[datacolumn]) self.data.columns=['数据'] elif isinstance(data, pd.core.series.Series): self.data = pd.DataFrame(data, columns=['数据']) else: self.data = pd.DataFrame(data, columns=['数据']) self.forecast_list = self.data.copy() if datacolumn: self.datacolumn = datacolumn else: self.datacolumn = None #save arg: # data DataFrame 数据 # forecast_list DataFrame 预测序列 # datacolumn string 数据的含义 4.level_check

按照级比校验的步骤进行，最终返回是否成功的bool类型值

def level_check(self): # 数据级比校验 n = len(self.data) lambda_k = np.zeros(n-1) for i in range(n-1): lambda_k[i] = self.data.ix[i]["数据"]/self.data.ix[i+1]["数据"] if lambda_k[i] < np.exp(-2/(n+1)) or lambda_k[i] > np.exp(2/(n+2)): flag = False else: flag = True self.lambda_k = lambda_k if not flag: print("级比校验失败，请对X(0)做平移变换") return False else: print("级比校验成功，请继续") return True #save arg: # lambda_k 1-d list 5.GM_11_build_model

按照GM(1,1)的步骤进行一次预测并增长预测序列（forecast_list）传入的参数forecast为使用forecast_list末尾数据的数量，因为灰色预测为短期预测，过多的数据反而会导致数据精准度变差

def GM_11_build_model(self, forecast=5): if forecast > len(self.data): raise Exception('您的数据行不够') X_0 = np.array(self.forecast_list['数据'].tail(forecast)) # 1-AGO X_1 = np.zeros(X_0.shape) for i in range(X_0.shape[0]): X_1[i] = np.sum(X_0[0:i+1]) # 紧邻均值生成序列 Z_1 = np.zeros(X_1.shape[0]-1) for i in range(1, X_1.shape[0]): Z_1[i-1] = -0.5*(X_1[i]+X_1[i-1]) B = np.append(np.array(np.mat(Z_1).T), np.ones(Z_1.shape).reshape((Z_1.shape[0], 1)), axis=1) Yn = X_0[1:].reshape((X_0[1:].shape[0], 1)) B = np.mat(B) Yn = np.mat(Yn) a_ = (B.T*B)**-1 * B.T * Yn a, b = np.array(a_.T)[0] X_ = np.zeros(X_0.shape[0]) def f(k): return (X_0[0]-b/a)*(1-np.exp(a))*np.exp(-a*(k)) self.forecast_list.loc[len(self.forecast_list)] = f(X_.shape[0]) 6.forecast

预测函数只要调用GM_11_build_model就可以，传入的参数time为向后预测的次数，forecast_data_len为每次预测所用末尾数据的条目数

def forecast(self, time=5, forecast_data_len=5): for i in range(time): self.GM_11_build_model(forecast=forecast_data_len) 7.log

打印当前预测序列

def log(self): res = self.forecast_list.copy() if self.datacolumn: res.columns = [self.datacolumn] return res 8.reset

初始化序列

def reset(self): self.forecast_list = self.data.copy() 9.plot

作图

def plot(self): self.forecast_list.plot() if self.datacolumn: plt.ylabel(self.datacolumn) plt.legend([self.datacolumn]) 四、使用

首先读入数据，最近11年的电影票房

f = open("电影票房.csv", encoding="utf8") df = pd.read_csv(f) df.tail()

11条数据

构建灰色预测对象，进行10年预测输出结果并作图

gf = GrayForecast(df, '票房') gf.forecast(10) gf.log()

原来的11条数据+10条预测结果

gf.plot()

全体数据作图

五、总结

我们看数据的后面几条，高达数千万，或许10年前我们也想不到现在的电影票房是曾经原来的20倍。这么快的增长已经接近指数增长了，然而它很可能就像人口一样，它并非是指数增长，而是没有达到增速减少的阈值罢了，用灰色预测很难看到如此长远的情况，或许可以将数据改为用sigmoid函数拟合，或许能达到更加准确的结果。

sigmoid函数

作者：crossous 链接：https://www.jianshu.com/p/a35ba96d852b 来源：简书简书著作权归作者所有，任何形式的转载都请联系作者获得授权并注明出处。

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