通信中相干时间与相干带宽

本文主要介绍通信系统中有关信道的两个非常重要的参数：相干时间与相干带宽

无线通信系统的信道非常复杂，所面临的环境包含了直射，反射，绕射，衍射，散射，相干，阴影等由障碍物所引起的一系列复杂的信道，这对信号的在空间中的传输造成了很大的影响，因此在很长一段时间内，对信道传输的研究是无线通信的难点。在介绍相干时间之前，我们先来回顾一下什么叫做线性时不变系统 (LTI)： 假设输入信号为 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) x_1(t),x_2(t) x1​(t),x2​(t)，输出信号为 y 1 ( t ) , y 2 ( t ) y_1(t),y_2(t) y1​(t),y2​(t)，如果： x 1 ( t ) → y 1 ( t ) , x 2 ( t ) → y 2 ( t ) x_1(t) \rightarrow y_1(t),\quad x_2(t) \rightarrow y_2(t) x1​(t)→y1​(t),x2​(t)→y2​(t) 则有： a x 1 ( t − t 0 ) + b x 2 ( t − t 0 ) = a y 1 ( t − t 0 ) + b y 2 ( t − t 0 ) ax_1(t-t_0) + bx_2(t-t_0) = ay_1(t-t_0)+by_2(t-t_0) ax1​(t−t0​)+bx2​(t−t0​)=ay1​(t−t0​)+by2​(t−t0​) 那么我们说这个系统是线性时不变系统，LTI系统是信号与系统处理中的最常见模型，也是最简单的模型，只有在该模型下，我们才会考虑DTFT，CTFT，DFT，FFT等以及它们相关的性质才会成立。由于麦克斯韦方程的线性，系统往往是线性可加的，同时由于发送端与接收端的移动性，时不变往往是很难做到的。上述方程也只有在考虑没有移动的情况下才成立。

从定义可以看到，在 T c T_c Tc​这段时间内，系统是时不变的，那么这段时间的长度跟什么有关呢？我们考虑一个两径的传播模型： 一条LoS直射路径和一条反射路径，信号带宽足够小，延时考虑为相移的情况下，有： y ( t ) = ( e − i 2 π f c d 1 c + e − i 2 π f c d 2 c ) x ( t ) = ( e − i 2 π d 1 λ + e − i 2 π d 2 λ ) x ( t ) \begin{aligned} y(t) &=\left(e^{-i 2 \pi f \mathrm{c} \frac{d_{1}}{c}}+e^{\left.-i 2 \pi f \mathrm{c} \frac{d_{2}}{c}\right)} x(t)\right.\\ &=\left(e^{-i 2 \pi \frac{d_{1}}{\lambda}}+e^{-i 2 \pi \frac{d_{2}}{\lambda}}\right) x(t) \end{aligned} y(t)​=(e−i2πfccd1​​+e−i2πfccd2​​)x(t)=(e−i2πλd1​​+e−i2πλd2​​)x(t)​ 假设在(a)位置时，信号刚好能够叠加达到最大，即是， y ( t ) = 2 x ( t ) y(t)=2x(t) y(t)=2x(t)，则在(b)时有： y ( t ) = ( e − i 2 π d λ + e − i 2 π − d λ ) x ( t ) = 2 cos ⁡ ( 2 π d λ ) x ( t ) \begin{aligned} y(t) &=\left(e^{-i 2 \pi \frac{d}{\lambda}}+e^{-i 2 \pi \frac{-d}{\lambda}}\right) x(t) \\ &=2 \cos \left(2 \pi \frac{d}{\lambda}\right) x(t) \end{aligned} y(t)​=(e−i2πλd​+e−i2πλ−d​)x(t)=2cos(2πλd​)x(t)​ 由表达式可以看出，信号在 λ / 2 \lambda/2 λ/2之内会呈现周期性变化，也就是说只要移动的距离不超过 λ / 2 \lambda/2 λ/2，那么我们可以认为是时不变的，如果此时移动速度为 v v v，那么： T c = λ 2 v  seconds.  T_{\mathrm{c}}=\frac{\lambda}{2 v} \quad \text { seconds. } Tc​=2vλ​ seconds.  这里可以看出相干时间是跟多普勒频移相关的，因此相干时间的倒数我们常常称之为多普勒扩展 (Doppler spread)，它往往是定义为多普勒效应所造成的最大频偏 (频谱移动)。信号的传输时间小于相干时间的时候，我们认为信号是不会失真的，也就是不会发生改变。当然，实际信道由直射路径和多个散射路径组成，但不管怎么样，上述的定义往往是可以接受的。

我们考虑信号的持续时间小于相干时间（ T c T_c Tc​），此时的系统为LTI系统，根据卷积与频域的关系，我们可以得到： y ( t ) = ∫ − ∞ ∞ d τ g ( τ ) x ( t − τ ) y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} d \tau g(\tau) x(t-\tau) y(t)=∫−∞∞​dτg(τ)x(t−τ) G ( f ) = ∫ − ∞ ∞ d t g ( t ) e − i 2 π f t G(f)=\int_{-\infty}^{\infty} d t g(t) e^{-i 2 \pi f t} G(f)=∫−∞∞​dtg(t)e−i2πft

可以看出，在频域内信道相应的幅值大概保持不变的一段频率称为相干带宽。现假设传输的信号为正弦信号 x ( t ) = s i n ( t ) = e i 2 π f t x(t)=sin(t)=e^{i2\pi ft} x(t)=sin(t)=ei2πft，则有： y ( t ) = ( e − i 2 π ( f c + f ) d 1 c + e − i 2 π ( f c + f ) d 2 c ) e i 2 π f t y(t)=\left(e^{-i 2 \pi\left(f_{\mathrm{c}}+f\right) \frac{d_{1}}{c}}+e^{-i 2 \pi\left(f_{\mathrm{c}}+f\right) \frac{d_{2}}{c}}\right) e^{i 2 \pi f t} y(t)=(e−i2π(fc​+f)cd1​​+e−i2π(fc​+f)cd2​​)ei2πft 信道频率响应： G ( f ) = e − i 2 π ( f c + f ) d 1 c + e − i 2 π ( f c + f ) d 2 c = e − i 2 π f d 1 c + e − i 2 π f d 2 c \begin{aligned} G(f) &=e^{-i 2 \pi\left(f_{\mathrm{c}}+f\right) \frac{d_{1}}{c}}+e^{-i 2 \pi\left(f_{\mathrm{c}}+f\right) \frac{d_{2}}{c}} \\ &=e^{-i 2 \pi f \frac{d_{1}}{c}}+e^{-i 2 \pi f \frac{d_{2}}{c}} \end{aligned} G(f)​=e−i2π(fc​+f)cd1​​+e−i2π(fc​+f)cd2​​=e−i2πfcd1​​+e−i2πfcd2​​​ 幅值： ∣ G ( f ) ∣ = ∣ e − i 2 π f d 1 c + e − i 2 π f d 2 c ∣ = 2 ∣ cos ⁡ ( π f d 1 − d 2 c ) ∣ \begin{aligned} |G(f)| &=\left|e^{-i 2 \pi f \frac{d_{1}}{c}}+e^{-i 2 \pi f \frac{d_{2}}{c}}\right| \\ &=2\left|\cos \left(\pi f \frac{d_{1}-d_{2}}{c}\right)\right| \end{aligned} ∣G(f)∣​=∣∣∣​e−i2πfcd1​​+e−i2πfcd2​​∣∣∣​=2∣∣∣∣​cos(πfcd1​−d2​​)∣∣∣∣​​

这是跟中心频率没有关系的表达式。由上图可知，我们定义 B c B_c Bc​为： B c = c ∣ d 1 − d 2 ∣ H z B_{\mathrm{c}}=\frac{c}{\left|d_{1}-d_{2}\right|} \quad \mathrm{Hz} Bc​=∣d1​−d2​∣c​Hz 因此我们希望在这段长度的频率范围内，信道幅值响应是一个比较恒定的值。在实际的场景中，信道更加复杂，这里的分母被定义为在所有传播路径中差别最大的路径。当信号的带宽小于相干带宽时，我们认为信号是不会发生失真的。同样相干带宽的倒数我们定义为时延拓展 (Time spread)， g ( t ) g(t) g(t)也被限制在时延拓展之内，相似地，当信号的带宽小于相干带宽，或者说信号的传输时间（周期）大于时延拓展（信号之间没有干扰），我们认为信号是没有失真的。

信号在时频域同时满足相干时间与相干带宽的，称之为相干间隔。我们定义一个相干间隔的长度为： τ c = B c T c  samples.  \tau_{\mathrm{c}}=B_{\mathrm{c}} T_{\mathrm{c}} \quad \text { samples. } τc​=Bc​Tc​ samples.  B c B_{\mathrm{c}} Bc​ 表示频率，即单位时间采样了多少个点，一共采样了 T c T_{\mathrm{c}} Tc​ 秒，因此这里可以理解为样本的个数。下图给出了一些参考的数据： 其中子载波频率为2GHz，波长为15cm。

以下针对相干时间与相干带宽做一下总结：