为什么配方法化二次型为标准型一定可以做到可逆线性变换

定理: 对任意一个 n 元二次型 f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x T A x f(x_1, x_2, ..., x_n) = x^TAx f(x1​,x2​,...,xn​)=xTAx，都可以通过配方法，进行可逆线性变换 x = C y x = Cy x=Cy，其中 C C C 是可逆阵，化成标准形。即：

f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x T A x = x = C y y T C T A C y = d 1 y 1 2 + d 2 y 2 2 + ⋯ + d n y n 2 f(x_1,x_2,...,x_n) = x^TAx \xlongequal{x=Cy} y^TC^TACy = d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2 f(x1​,x2​,...,xn​)=xTAxx=Cy yTCTACy=d1​y12​+d2​y22​+⋯+dn​yn2​

由实对称矩阵必可相似对角化，即对任意一个 n 阶实对称矩阵 A A A，一定存在可逆阵 C C C 使得 C T A C = ∧ C^TAC = \wedge CTAC=∧. 这个定理显然是正确的。但是如何直观地看出使用配方法也总能找到可逆线性变换呢？我用 3 元二次型的不同情况来说明这个定理的正确性。

情况一： f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 2 x 1 2 + 3 x 2 2 + 5 x 3 2 + 4 x 1 x 2 − 8 x 2 x 3 − 4 x 3 x 1 f(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2 + 3x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-8x_2x_3-4x_3x_1 f(x1​,x2​,x3​)=2x12​+3x22​+5x32​+4x1​x2​−8x2​x3​−4x3​x1​

先把所有含 x 1 x_1 x1​ 的项配成一个完全平方，即有： f = 2 [ x 1 2 + 2 x 1 ( x 2 − x 3 ) + ( x 2 − x 3 ) 2 ] + 3 x 2 2 + 5 x 3 2 − 8 x 2 x 3 − 2 ( x 2 − x 3 ) 2 = 2 ( x 1 + x 2 − x 3 ) 2 + x 2 2 + 3 x 3 2 − 4 x 2 x 3 \begin{align*} f &= 2[x_1^2+2x_1(x_2-x_3)+(x_2-x_3)^2]+3x_2^2+5x_3^2-8x_2x_3-2(x_2-x_3)^2 \\ &= 2(x_1+x_2-x_3)^2 + x_2^2+3x_3^2-4x_2x_3 \end{align*} f​=2[x12​+2x1​(x2​−x3​)+(x2​−x3​)2]+3x22​+5x32​−8x2​x3​−2(x2​−x3​)2=2(x1​+x2​−x3​)2+x22​+3x32​−4x2​x3​​ 再把所有含 x 2 x_2 x2​ 的项配成一个完全平方，即： f = 2 ( x 1 + x 2 − x 3 ) 2 + ( x 2 2 − 4 x 2 x 3 + 4 x 3 2 ) + 3 x 3 2 − 4 x 3 2 = 2 ( x 1 + x 2 − x 3 ) 2 + ( x 2 − 2 x 3 ) 2 − x 3 2 \begin{align*} f & = 2(x_1+x_2-x_3)^2 + (x_2^2-4x_2x_3+4x_3^2) + 3x_3^2-4x_3^2 \\ & = 2(x_1+x_2-x_3)^2+(x_2-2x_3)^2-x_3^2 \end{align*} f​=2(x1​+x2​−x3​)2+(x22​−4x2​x3​+4x32​)+3x32​−4x32​=2(x1​+x2​−x3​)2+(x2​−2x3​)2−x32​​ 引入新变量，令 { y 1 = x 1 + x 2 − x 3 y 2 = x 2 − 2 x 3 y 3 = x 3       即 ( y 1 y 2 y 3 ) = [ 1 1 − 1 0 1 − 2 0 0 1 ] ( x 1 x 2 x 3 ) \left\{ \begin{align*} y_1 & = &x_1&+x_2& -x_3\\ y_2 & = && x_2 &-2x_3\\ y_3 & = & & &x_3 \end{align*} \right. \ \ \ \ \ \ 即 \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3 \end{pmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} ⎩ ⎨ ⎧​y1​y2​y3​​===​x1​​+x2​x2​​−x3​−2x3​x3​​      即 ​y1​y2​y3​​ ​= ​100​110​−1−21​ ​ ​x1​x2​x3​​ ​ 这个变换矩阵是一个主对角线元素全部不为 0 的上三角矩阵，它显然是可逆的，所以 y y y 和 x x x 之间肯定是存在可逆线性变换的。那么现在问题来了，该变换矩阵是上三角矩阵是显然的，但是万一有的行的主元是0呢，这样得到的矩阵岂不是不满秩了吗？怎么解决呢？请看情况二：

情况二：

f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 2 x 1 2 + 3 x 2 2 + 6 x 3 2 + 4 x 1 x 2 − 8 x 2 x 3 − 4 x 3 x 1 f(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2 + 3x_2^2+6x_3^2+4x_1x_2-8x_2x_3-4x_3x_1 f(x1​,x2​,x3​)=2x12​+3x22​+6x32​+4x1​x2​−8x2​x3​−4x3​x1​

先把所有含 x 1 x_1 x1​ 的项配成一个完全平方，即有： f = 2 [ x 1 2 + 2 x 1 ( x 2 − x 3 ) + ( x 2 − x 3 ) 2 ] + 3 x 2 2 + 6 x 3 2 − 8 x 2 x 3 − 2 ( x 2 − x 3 ) 2 = 2 ( x 1 + x 2 − x 3 ) 2 + x 2 2 + 4 x 3 2 − 4 x 2 x 3 \begin{align*} f &= 2[x_1^2+2x_1(x_2-x_3)+(x_2-x_3)^2]+3x_2^2+6x_3^2-8x_2x_3-2(x_2-x_3)^2 \\ &= 2(x_1+x_2-x_3)^2 + x_2^2+4x_3^2-4x_2x_3 \end{align*} f​=2[x12​+2x1​(x2​−x3​)+(x2​−x3​)2]+3x22​+6x32​−8x2​x3​−2(x2​−x3​)2=2(x1​+x2​−x3​)2+x22​+4x32​−4x2​x3​​

再把所有含 x 2 x_2 x2​ 的项配成一个完全平方，即： f = 2 ( x 1 + x 2 − x 3 ) 2 + ( x 2 2 − 4 x 2 x 3 + 4 x 3 2 ) + 3 x 3 2 − 4 x 3 2 = 2 ( x 1 + x 2 − x 3 ) 2 + ( x 2 − 2 x 3 ) 2 \begin{align*} f & = 2(x_1+x_2-x_3)^2 + (x_2^2-4x_2x_3+4x_3^2) + 3x_3^2-4x_3^2 \\ & = 2(x_1+x_2-x_3)^2+(x_2-2x_3)^2 \end{align*} f​=2(x1​+x2​−x3​)2+(x22​−4x2​x3​+4x32​)+3x32​−4x32​=2(x1​+x2​−x3​)2+(x2​−2x3​)2​ 可是这时候经过前面的配方， x 3 2 x_3^2 x32​这一项已经消失了，这个时候好像只能引入两个新变量了，也就是： { y 1 = x 1 + x 2 − x 3 y 2 = x 2 − 2 x 3 \left\{ \begin{align*} y_1 & = &x_1&+x_2& -x_3\\ y_2 & = && x_2 &-2x_3\\ \end{align*} \right. {y1​y2​​==​x1​​+x2​x2​​−x3​−2x3​​

其实，这个时候我们可以人为地凑出第三个方程，将 x 3 2 x_3^2 x32​ 项的系数看成 0 ，也就是 0 x 3 2 0 x_3^2 0x32​，其实就相当于，无论 y 3 y_3 y3​ 取何值，都不影响 f f f 的表达式。

一开始，用矩阵表示该转换是： ( y 1 y 2 ) = [ 1 1 − 1 0 1 − 2 ] ( x 1 x 2 x 3 ) \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ \end{pmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & -2\\ \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} (y1​y2​​)=[10​11​−1−2​] ​x1​x2​x3​​ ​ 现在我们变为： ( y 1 y 2 y 3 ) = [ 1 1 − 1 0 1 − 2 0 0 a ] ( x 1 x 2 x 3 ) \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3 \end{pmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & a \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} ​y1​y2​y3​​ ​= ​100​110​−1−2a​ ​ ​x1​x2​x3​​ ​ 其中， a ≠ 0 a\neq 0 a=0，刚刚已经说了，其实无论 y 3 y_3 y3​ 取何值，都不影响 f f f，因为 f f f 的表达式 中 y 3 2 y_3^2 y32​ 项的系数为 0。但是只有当 a ≠ 0 a\neq0 a=0，由 x x x 到 y y y 的转换才是可逆线性变换。一般地，为了方便起见，我们令 a = 1 a=1 a=1，也就是 y 3 = x 3 y_3=x_3 y3​=x3​。

所以，我们同样得到了一个可逆线性变换，只不过是在主元为 0 的那些行做了特殊取值。仔细思考，如果最初 f f f 的表达式中 x 1 2 x_1^2 x12​项的系数为 0，这仍然说得通，因为在 f f f 的表达式中 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x1​,x2​,x3​的地位是对等的，所以我们可以先对系数不为 0 的 x 2 2 x_2^2 x22​ 或 x 3 2 x_3^2 x32​ 进行配方。

那么问题就来了，如果 f f f 的表达式中，只有形如 x 1 x 2 x_1x_2 x1​x2​, x 2 x 3 x_2x_3 x2​x3​ 的交叉项，而没有 x i 2 x_i^2 xi2​ 的平方项怎么办呢？请看情况三：

情况三：

f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 4 x 2 x 3 f(x_1,x_2,x_3) = x_1x_2 + 2x_1x_3 + 4 x_2x_3 f(x1​,x2​,x3​)=x1​x2​+2x1​x3​+4x2​x3​

令 x 1 = y 1 + y 2 x_1 = y_1 + y_2 x1​=y1​+y2​， x 2 = y 1 − y 2 x_2 = y_1 - y_2 x2​=y1​−y2​， x 3 = y 3 x_3 = y_3 x3​=y3​，则有： f = ( y 1 + y 2 ) ( y 1 − y 2 ) + 2 ( y 1 + y 2 ) y 3 + 4 ( y 1 − y 2 ) y 3 = y 1 2 − y 2 2 + 6 y 1 y 3 − 2 y 2 y 3 \begin{align*} f & = (y_1+y_2)(y_1-y_2)+2(y_1+y_2)y_3+4(y_1-y_2)y_3 \\ & = y_1^2 - y_2^2 + 6y_1y_3 - 2y_2y_3 \end{align*} f​=(y1​+y2​)(y1​−y2​)+2(y1​+y2​)y3​+4(y1​−y2​)y3​=y12​−y22​+6y1​y3​−2y2​y3​​

进一步，我们再根据之前的方法，从 y 1 y_1 y1​开始配方，可得： f = ( y 1 + 3 y 3 ) 2 − ( y 2 + y 3 ) 2 − 8 y 3 2 \begin{align*} f & = (y_1+3y_3)^2 - (y_2+y_3)^2 - 8y_3^2 \end{align*} f​=(y1​+3y3​)2−(y2​+y3​)2−8y32​​ 再引入新变量：

{ z 1 = y 1 + 3 y 3 z 2 = y 2 + y 3 z 3 = y 3       即 ( z 1 z 2 z 3 ) = [ 1 0 3 0 1 1 0 0 1 ] ( y 1 y 2 y 3 ) = [ 1 0 3 0 1 1 0 0 1 ] [ 1 1 0 1 − 1 0 0 0 1 ] − 1 ( x 1 x 2 x 3 ) \left\{ \begin{align*} z_1 & = y_1+3y_3\\ z_2 & = y_2+y_3\\ z_3 & = y_3 \end{align*} \right. \ \ \ \ \ \ 即 \begin{pmatrix} z_1\\ z_2\\ z_3 \end{pmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3 \end{pmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1& 0\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} ⎩ ⎨ ⎧​z1​z2​z3​​=y1​+3y3​=y2​+y3​=y3​​      即 ​z1​z2​z3​​ ​= ​100​010​311​ ​ ​y1​y2​y3​​ ​= ​100​010​311​ ​ ​110​1−10​001​ ​−1 ​x1​x2​x3​​ ​ 这个新的线性变换已经构造出来了。

一般地，对于只含交叉项的 n 元二次多项式 f f f，我们假设 f f f 中含有交叉项 x i x j , i ≠ j x_ix_j,i\neq j xi​xj​,i=j，则我们令： x i = y i + y j x_i = y_i + y_j xi​=yi​+yj​， x j = y i − y j x_j = y_i - y_j xj​=yi​−yj​， x k = y k , k ≠ i ， k ≠ j x_k = y_k, k\neq i，k\neq j xk​=yk​,k=i，k=j。先利用平方差构造出一个平方项，然后在逐次配方，也可以得到一个可逆线性变换。

综合以上三种情况，我们不难看出，配方法一定可以找到可逆线性变换，化二次型为标准型。