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原文链接 树上差分 算法详解 算法范围树上差分算法,是一个适用于树上区间操作的算法. 它是差分数组,前缀和求解的树上拓展. 众所周知,树这类特殊的结构,往往具有很多性质,而树上差分往往就是结合这些性质,进行高效率的处理. 我们还需要知道一点,树上差分基本上不会出裸题,往往会和大量的算法结伴出行. 其中,树上差分通常,99%的可能性与LCA最近公共祖先算法,一起出现在题目.就像热恋情人一样 树上差分,准确来说不是算法,而是一种优秀的思想 算法概念树上差分,捕捉关键字. 树上(体现了适用结构) 差分(体现了思想本质)说了跟没有讲一样,差评 正经脸嬉皮笑脸的我,跟大家好好胡说八道说一下树上差分,这个有趣变态的算法. 趣闻来也 Acwing是一个大集体,通过网络空间,联络了千万家庭. 现在有大量的网友们,他们手上有大量的学习资源,想要共享给其他人,赚取一个具有神秘力量的东西.(强势为接下来的Acwing积分打广告) 那就是Acwing积分,它无所不能,可以兑换字体,称号,荣誉,权限,甚至AcwingT恤,虽然现在木有等等,等等更加人性化的东西 我们知道,两个人他们相互认识,可能隔着很多人. 因此我们不妨认为,Acwing的网友们,他们组成了一棵树. 小A同学,想要把自己的资源传输给小B同学,他们需要经过很多人. 本着资源共享的目的,因此路径上的每一个人,都可以得到一份资源. 小A同学,希望自己手上的资源,越早地提供给小B同学,那么他们显然要走一条最短路. 也就是我们的Lca路径. 小A同学是一个资源大户,他总是时不时给小B同学,传输资源. 第一天,小A传给小B,15个yxc老师精品资源,包括算法基础课,算法竞赛进阶指南,Leetcode打卡. 第二天,小A传给小B,7个秦淮岸同学的算法大礼包精品资源. 第三天,小A传给小B,1个Chicago大佬的搜索精品资源. 第四天,小A传给小B,1个Corner小仙女的精品并查集资源. 第五天,小A传给小B,1个林同学的精品贪心资源. 小A同学,小B同学手上的资源数量就是以上总和. 综上所述,我们发现[a,b]节点,路径上的所有节点,他们的值都会增加同样一个值. 显然每天,肯定不止小A和小B同学传资源,肯定有很多人,很多次传输资源. 假如说,我们的Acwing服务器,使用最普通的算法,那么面对茫茫人海,统计每一个节点的资源数量,增加一个区间的资源数量,肯定会崩溃的. 所以,我们的首席技术官,yxc老师想到了树上差分算法. 算法流程我们发现,差分和前缀和在一起,是可以统计出每一个节点的数量的. 但是此时我们面临的是一棵树,我们该怎么办呢? 先来定义概念 \[f[i]表示i到i的父亲的边权 \\\\ w[i]表示i的子树权值之和 \]观察这张图,然后思考一下,我们发现了什么. 树上差分,竟然就是DFS序列构成区间的一种差分体现. 我们知道DFS序列,其实就是子树区间.如果不懂,欢迎看秦淮岸的搜索专题讲解,里面有DFS序的讲解 那么树上差分,其实就这么巧妙地转化为了区间差分一样的套路. 在这里,我们只讨论边上差分,暂时不讨论点上差分. 好题选讲原题连接 题目描述传说中的暗之连锁被人们称为 Dark。 Dark 是人类内心的黑暗的产物,古今中外的勇者们都试图打倒它。 经过研究,你发现 Dark 呈现无向图的结构,图中有 N 个节点和两类边,一类边被称为主要边,而另一类被称为附加边。 Dark 有 N – 1 条主要边,并且 Dark 的任意两个节点之间都存在一条只由主要边构成的路径。 另外,Dark 还有 M 条附加边。 你的任务是把 Dark 斩为不连通的两部分。 一开始 Dark 的附加边都处于无敌状态,你只能选择一条主要边切断。 一旦你切断了一条主要边,Dark 就会进入防御模式,主要边会变为无敌的而附加边可以被切断。 但是你的能力只能再切断 Dark 的一条附加边。 现在你想要知道,一共有多少种方案可以击败 Dark。 注意,就算你第一步切断主要边之后就已经把 Dark 斩为两截,你也需要切断一条附加边才算击败了 Dark。 输入格式第一行包含两个整数 N 和 M。 之后 N – 1 行,每行包括两个整数 A 和 B,表示 A 和 B 之间有一条主要边。 之后 M 行以同样的格式给出附加边。 输出格式输出一个整数表示答案。 数据范围 \[N \le 100000\\\\ M \le 200000,数据保证答案不超过2^{31}-1 \]输入样例: 4 1 1 2 2 3 1 4 3 4 输出样例: 3 解题报告 题意理解这道题目题意比较绕,我们来一步步剖解这道题目.题目解剖学,人体解剖学 一颗\(n-1\)条主要边的树,然后增加了\(m\)条附加边. 我们只能删除一条主要边,一条附加边,一种边叫做主要边,一种边叫做附加边. 要求删除两条边后,这棵树不再是连通的. 我们需要统计,有多少种方案可以使得不连通,输出方案数. 算法解析附加边到底有什么用处? \[对于每一条连接x,y节点的(x,y),其实我们都可以认为这条边,连接了(x,y)这条路径上的所有点. \]当没有了主要边的时候,其实附加边就是我们的主要边. \[所以说,附加边(x,y),就是将树上x,y之间的路径上的每条主要边,都覆盖了一次. \]因为当\((x,y)\)路径上的任意一条主要边消失后,他都可以成为主要边,去维护连通性. 因此现在我们的问题模型转化了. 给定一个\(n-1\)条边的树,求每一条树边,被非树边覆盖了多少次 树边也就是主要边 非树边也就是附加边那么这就是一个树上差分统计覆盖次数问题了. \[每一条附加边,使得(x,y)节点的路径上,每一个节点的权值+1. \]此时我们的问题,变成了如何统计方案数. 我们来好好地分类讨论一下主要边,身上的附加边. \[1.主要边被覆盖了0次,即上面只有0条附加边. \]我们发现删除完这条主要边后,随意删除一条附加边,我们都可以让树不连通.也就是\(m\)种方案. 只要删除\((2,4)\)这条红边,那么随意一条附加边,都可以满足条件. \[2.主要边覆盖1次,即上面只有一条附加边 \]我们发现删除完这条主要边后,我们只能删除这条主要边的附加边.也就是\(1\)种方案. 也就是删除咱们图上面的\((3,7)\)红边,然后我们只能删除那条上面的紫色边. \[3.主要边覆盖大于1次,即上面有多条附加边 \]我们发现,怎么删除,总能连通.于是\(0\)种方案. 代码解析 #include using namespace std; const int N=100000+200; int n,m,ans; struct LCA { int head[N |
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