为什么一个依测度收敛的序列不几乎处处收敛？(几乎处处收敛)

的回答）。 而一个依测度收敛的序列之所以不几乎处处收敛，可以理解为本质上是因为测度收敛到零的速度不够快（参见 回答中的例子）。 如果收敛速度足够快，比如小于一个收敛正项级数的对应项，那么就是几乎处处收敛了。

依测度收敛必有“几乎处处收敛”的子列吗？前面我们得到“几乎处处收敛”+“集合测度有限”可以得到“依测度收敛”，下面我们将说明“依测度收敛”必有“几乎处处收敛”的子列。 前面已经介绍过反例，它依测度收敛但处处不收敛，所以只能研究子列。

依测度收敛的意义是什么？下图是依测度收敛的几何意义 给定正数 ε，集合 Ek 表示函数列超出了带形区域的集合，依测度收敛表明该集合的测度随 k 增大趋向 0。 并且需要注意，集合列 Ek 并没有包含关系，对于不同的 k，对应的 Ek 甚至可能没有交集，但不管 Ek 的位置在哪里，只要 k 趋于无穷，它的测度就趋于 0.

为什么函数序列在上处处不收敛？(1) 函数序列 在 上处处不收敛。 这是因为任取一点 ,对任意的 总有相应的 ,使得 ,所以 。 然而 或 。也就是说，对任意一点 , 无穷多次函数 值取1，无穷多次函数值取0，因此在 任意一点是发散的。

为什么几乎处处收敛的等价集合刻画只有在e 的测度有限时才成立？因为“几乎处处收敛”的等价集合刻画只有在 E 的测度有限时才成立，具体来说是因为其中对一个递减集列求极限，E 是该递减集列测度的上界. 这里集合 E 为 (0,+∞)，测度无限。