洛伦兹(Lorentz)变换的推导

最近在Coursera上学一门Introduction to Astronomy的课程，讲到恒星演化末期的坍缩，需要用到相对论，于是课上也顺带介绍了一下相对论。一直对相对论感觉神秘不可理解的我几个video下来居然也能理解一些了。想想高中和大一大二学物理的时候讲相对论部分，纯粹只是记了几个公式，推导完全不会，更不用提理解了。学到新东西感觉很好，决定记下狭义相对论里面的基础变换式洛伦兹变换的推导过程。

相对论最深远的意义是改变了人们之前对时间和空间的概念。在经典物理学中，时间和空间是独立的两个维度，而相对论中，时间和空间是联系在一起互相影响的。这个相互影响正是通过洛伦兹变换构建而成。

具体而言，洛伦兹变换探讨不同惯性参考系（注：惯性参考系是指牛顿定律成立的参考系——零加速度（静止或匀速直线运动）参考系。有加速度的参考系中的运动需引入不存在的“惯性力”才能用牛顿定律解释。一般的讨论都只限在惯性系中）中描述同一事件时空坐标的变换关系。这里“事件”这个概念表示时空坐标系中的一个点。只讨论一维的情况，空间用x坐标表示，时间用t表示。则(x, t)代表发生在位置x，时间t的事件，例如x=实验室，t=星期一中午1点，就对应我吃午饭的事件。洛伦兹变换式应用到这里，就可以表示不同惯性参考系中我吃午饭这个事件的(x, t)坐标之间的变换关系。由于要讨论时空关系，这里的参考系包含时间维度。

整个狭义相对论的时空体系构建在两个基本假设之上：

* 相对性原理：物理规律与所选（惯性）参照系无关；

* 光速不变原理：（真空中的）光速在不同参照系中都一样。

高中第一堂物理课开始就学到物理现象的描述总是对某一个参考系而言的，相对性原理说的就是所有惯性系中的物理规律都是一样的，没有哪一个参考系比其他的更特殊。这个原理引申出一些结论：

1. 在一个惯性系O中看到某物体做匀速直线运动（不受力的作用，或所有力的作用相互抵消），则另一个惯性系O'中该物体也做匀速直线运动。

2. 空间一致性：参考系空间原点选在空间任意一点物理规律都一样，只不过坐标需做相应的平移。

3. 时间一致性：参考系时间原点选在时间任意一点物理规律都一样，只不过坐标需做相应的平移。

相对性原理比较容易理解。伽利略早在相对论提出几百年前就已经提出了相对性原理，并给出了经典物理学中不同参考系中的时空变换式。设有两个参考系O和O'，他们原点重合（亦即以同一事件定义x=0和t=0这一点），并且O'相对O以速度v沿x轴做匀速直线运动。设某事件在O中的坐标为(x, t)，对应在O'中坐标为(x', t')，则伽利略变换为如下形式：

$$\begin{eqnarray*}x' &=& x - vt\\ t' &=& t\end{eqnarray*}$$

这个变换符合常识，经典物理中，时间是一个独立维度，因此O和O'中的时间总是一致的。另一方面，经过时间t后，O'移动了vt的距离，从而\(x'=x-vt\)。对时间求导，可以得到速度变换式\(u'=u-v\)，从而\(u=u'+v\)，即速度的叠加性。

光速不变原理就有点不符合常识了。设在O'中沿x方向发出一束光，在O'中测到的光束最前端速度为光速c，由于O'相对于O以速度v运动，对O而言光束最前端速度按照伽利略变换（“常识”）应为\(c+v\)。可是光速不变原理说，O中测到的这个速度也得是c，这就是奇怪之处了。不过这条光速不变原理正是相对论区别于经典物理的地方，由这条假设可以推出一整套全新的相对论物理体系。这套新的相对论物理体系并不是和经典物理完全相悖，相反，在低速条件下（相对c而言低速）经典物理是相对论很好的近似。因而，相对论代表了我们对物理现象的更深层次的理解。

这个奇怪的光速不变原理是怎么提出来的呢？最初的根源来自麦克斯韦（Maxwell）的电磁场方程组，由这个方程组可以推算出真空中的光速c的值。但是，这个推导和参考系并没有关系，这就与伽利略变换相悖了。因此，人们有两个选择：（1）麦克斯韦方程组推导出的光速是基于某个未知参考系算出来的；（2）接受光速在不同参考系中不变这个结论。对十九世纪末的人们来说，光速不变实在是难以想象，相比之下第一选择就容易接受的多了。于是很多人花了很大的力气去寻找这个未知参考系（人们把这个参考系叫做“以太”），但一直都没有成功（例如著名的迈克耳孙-莫雷实验）。后来就有人慢慢开始怀疑以太可能不存在，而倾向于相信光速可能的确不变了。另一方面，洛伦兹也推导出了一组时空变换式，使得麦克斯韦方程组能够与之兼容。再后来，基于这组变换式爱因斯坦发展出新的时空观，并构建了新的物理体系，就成为相对论。因此，光速不变原理不是凭空想出来的。和其他的发现一样，这个原理也是随着人们对现象的认识逐步深入发展而来。

说回洛伦兹变换的推导。基于相对性原理和光速不变原理，就可以推出洛伦兹变换，相对论时空观的基础。

变换式的通用形式为

$$\begin{align*} x' &= f_x(x, t) \\ t' &= f_t(x, t)\end{align*}$$

首先要确定\(f_x\)和\(f_t\)的形式。根据时间一致性和空间一致性，可以得出这两个f都必须是线性函数：考虑任意两个事件1和2，用\((x_1, t_1), (x_2, t_2)\)以及\((x'_1, t'_1), (x'_2, t'_2)\)分别表示，则

$$\begin{align*}x'_1 &= f_x(x_1, t_1) \\ x'_2 &= f_x(x_2, t_2) \\ t'_1 &= f_t(x_1, t_1) \\ t'_2 &= f_t(x_2, t_2)\end{align*}$$

现假定把两个参考系的原点都移到事件1发生的时空位置，那么在O中，事件2的坐标就变为\(x_2-x_1, t_2-t_1\)，相应的，在O'中对应的坐标为\((x'_2 - x'_1, t'_2 - t'_1)\)。根据时空一致性，变换式应该仍然适用，从而

$$\begin{align*} x'_2 - x'_1 &= f_x(x_2 - x_1, t_2 - t_1) \\ t'_2 - t'_1 &= f_t(x_2 - x_1, t_2 - t_1)\end{align*}$$

若记\(p=(x,t)^\top\)，这个式子可以简写为

$$f(p_2) - f(p_1) = f(p_2 - p_1)$$

这个关系只有\(f(p)=M p\)的线性变换才能满足，其中M为2x2矩阵。

这里粗略给一下p为一维变量时证明的主要想法。上式等价于\(f(p_1)+f(p_2)=f(p_1+p_2)\)。取\(p_1=p_2=0\)得 \(f(0)=0\)。取\(p_1=p_2=p\)得 \(f(2p)=2 f(p)\)。归纳可证对任意正整数n，\(f(np) = n f(p)\)。取\(p=1\)，得对任意正整数n \(f(n)=n f(1)\)，取\(p=1/n\)，得\(f(1/n)=1/n f(1)\)。令\(k=f(1)\)，则我们有对任意正整数n，\(f(n) = kn\)，\(f(1/n)=k/n\)。对于f连续的情况，可以通过极限说明对任意\(p\in[0,1], f(p)=kp\)。因而对任意正数\(p\)有\(f(p)=f([p]+(p-[p])) = f([p]) + f(p-[p]) = k[p] + k(p-[p]) = kp\)。对负数的情况，有\(f(p) = f(0) - f(-p) = -k(-p)=kp\)，因而对任意实数\(f(p)=kp\)。

上面说明了f(p)必须为M p形式的线性变换，从而可设

$$\begin{align*}x' &= Ax + Bt\\ t' &= Cx + Dt \end{align*}$$

接下来只需要求出参数A,B,C,D即可，注意C和光速c不是同一个量，且A,B,C,D均为v的函数（严格来说应写为\(A_v, B_v, C_v, D_v\)）。

首先O'的坐标原点在O中以速度v运动，因而O'中的直线x'=0对应于O中的直线x=vt。考虑x=vt上的事件(v,1)，该事件在O'中的x'坐标为0。故\(0 = Av + B\)，得\(B=-Av\)，因此

$$x'=A(x-vt)$$

另一方面，从O'中看O原点的运动为-v速度匀速运动，故O'中直线x'=-vt'对应O中直线x=0。考虑O'中的点(-v,1)该事件在O中的x坐标为0，故

$$\begin{align*}-v &= A(-vt) \\ 1 &= Dt\end{align*}$$

从而可推得\(D=A\)。因此变换式变为

$$\begin{align*}x' &= A(x-vt) \\ t' &= Cx + At \end{align*}$$

接下来用光速不变原理求出A和C。考虑O'中由原点发出的一束光的前端，其时空坐标由直线\(x'=ct'\)表示。根据光速不变原理，在O中其坐标也是直线\(x=ct\)。因此对于O'中的点(c,1)，其在O中的坐标满足\(x=ct\)。故

$$\frac{c}{1}=\frac{A(ct-vt)}{Cct+At}=\frac{A(c-v)}{A+Cc}$$

可以求得\(C=-\frac{v}{c^2}A\)。变换式变为

$$\begin{align*} x' &= A(x-vt) \\ t' &= A\left(t - \frac{v}{c^2}x\right)\end{align*}$$

接下来求A。考虑由(x', t')到(x, t)的逆变换，由上面变换式可以推出

$$\begin{align*}x &= \frac{1}{A\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}(x' + vt') \\ t &= \frac{1}{A\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)}\left(t' + \frac{v}{c^2}x'\right)\end{align*}$$

由于在O'中看O以速度-v运动，故得

$$A_{-v} = \frac{1}{A_v\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}$$

即

$$A_v A_{-v}=\frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$

根据空间对称性（O'以v的速度运动和以-v速度运动，得出的变换式应是对称的，这也是空间一致性的一个应用），应有\(A_v = A_{-v}\)，从而

$$A_v = A_{-v}= A = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

在相对论中按惯例使用符号\(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\)故最终的洛伦兹变换式为

$$\begin{align*} x' &= \gamma(x-vt) \\ t' &= \gamma\left(t - \frac{v}{c^2}x\right)\end{align*}$$

前面提到洛伦兹变换是狭义相对论的基础，由这个变换可以推出一整套新的物理体系。这里提几个结论，算是对洛伦兹变换对时空观带来影响的一个回顾。

长度收缩效应：高速运动的参照系中固定长度的物体，在静止参考系中看起来会短一些。考虑O'中固定长度L'的直尺，一端固定在x'=0，另一端固定在x'=L'。考虑x'=0这一端，在O中，时间t时它的坐标为x=vt。而对于x'=L'这一端在O中的坐标由洛伦兹变换给出\(L' = \gamma(x-vt)\)，从而\(x = vt + L'/\gamma\)，因而在O中这个直尺看起来的长度只有

$$L=vt+\frac{L'}{\gamma} - vt = \frac{L'}{\gamma}=L'\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} < L'$$

时间稀释效应：高速运动的参照系中时间会变慢。考虑O'中的两个事件(0,0)和(0,T')，两个事件都发生在x'=0的位置，时间间隔为T'。t'=0的事件为O'的原点，因而对应于O的原点，故O中的该事件的时间为t=0。对t'=T'的事件，带入洛伦兹变换，得

$$\begin{align*}0 &= \gamma(x-vt) \\ T' &= \gamma\left(t - \frac{v}{c^2}x\right)\end{align*}$$

消去x可解得

$$t=\frac{1}{\gamma\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}T' = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}T' = \gamma T' > T'$$

此即为在O中测得的两个事件的时间间隔。如果O中两事件时间间隔为T，则O'中时间间隔为\(T/\gamma\)，短于T，从而看上去O'的时间就变慢了。假想有一对同时出生的孪生兄弟A和B，把A送入高速飞行的飞船，B留在地面上。根据时间稀释效应，当飞船返回地面时，飞船上的A会比留在地面上的B更年轻。当飞船速度足够大的时候，可能B已经垂垂老矣，而A还与当初刚上飞船时无异。这个实验据说已经被证实，只不过人造的飞船速度都很低（跟光速相比），从而时间稀释非常微弱，但仍然可以用高精度的原子钟测出来。这一效应也在微观世界被证实，一些极短衰变时间的粒子在加速到接近光速后几乎可以一直存在，得以“永生”。

相对论速度叠加：考虑洛伦兹变换的逆变换，前面实际上已经推得

$$\begin{align*}x &= \gamma(x' + vt') \\ t &= \gamma\left(t + \frac{v}{c^2}x'\right)\end{align*}$$

则在O'中以\(u'=\frac{dx'}{dt'}\)运动的物体在O中的速度为

$$u=\frac{dx}{dt} = \frac{\frac{dx}{dt'}}{\frac{dt}{dt'}} = \frac{\gamma \left(\frac{dx'}{dt'}+v\right)}{\gamma\left(1 + \frac{v}{c^2}\frac{dx'}{dt'}\right)} = \frac{u'+v}{1+\frac{vu'}{c^2}}$$

从而，当v和u'都非常小时，\(u\approx u' + v\)。而当u'=c为光速时，可得u=c，从而与光速不变原理一致。