泰勒展开精度不够的数学本质

这是我们熟知的泰勒展开公式： e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdot\cdot\cdot+\frac{x^n}{n!}+\cdot\cdot\cdot ，它的意思是 e^x 等于右边的多项式(其实是函数项级数，这里姑且称为多项式)。它们是完全相等的，不是近似的或者约等的，既然不是近似或约等的，那么精度一词从何而来呢？下面我们进行剖析：

e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdot\cdot\cdot+\frac{x^n}{n!}+\cdot\cdot\cdot\\可以看出 x^n 后面的每一项都比 x^n 次幂高，设 o(x^n)=r_{n}(x)=\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+\frac{x^{n+2}}{(n+2)!}+\cdot\cdot\cdot ，即 o(x^n)=r_{n}(x) 是从 x^{n+1} 开始的所有项，我们立即有如下结论：

\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{r_{n}(x)}{x^{n}}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{(n+1)!}+\frac{x^{2}}{(n+2)!}+\cdot\cdot\cdot}=0\\

小结：综上可知 o(x^n)=r_{n}(x) 是一个多项式，也即通常所说的皮亚诺余项，它泛指某个最低次幂为 x^{n+1} 的多项式，下面举例说明不同情况皮亚诺余项的具体的含义：

例1： e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2) 这里 o(x^2)=\frac{x^3}{3!}+\cdot\cdot\cdot+\frac{x^n}{n!}+\cdot\cdot\cdot

例2： sin\left( x \right)=x+o(x) 这里 o(x)=-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdot\cdot\cdot

例1的 o(x^2) 是最低次为 x^3 的多项式满足上述小结，而例2中 o(x) 也是一个最低次为 x^3 的多项式，不满足上面的结论。这是因为对于例2， x^2 项的系数为0，但我们只展开到 x ，并不知道下一项次幂具体是多少，暂时只知道比 x^1 要高，因此记为 o(x) 。

结论：对于泰勒展开， o(x^n) 的本质就是一个最低次为 x^{n+1} 或者比 x^{n+1} 次数还要高的多项式，而且可以保证：

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{o(x^n)}{x^n}=\lim_{x \rightarrow 0}a_{1}x+a_{2}x^2+\cdot\cdot\cdot=0\\

泰勒展开项数越多，那么o(x^n) 括号内 x 的次数越高，也称展开的“精度”越高，下面来看“精度”到底是什么。

例题：

泰勒展开左右表达式是完全相等的因此全部的泰勒展开不会出错

\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{e^x-x-1}{x^2}}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{1+x+\frac{1}{2}x^2-x-1+o(x^2)}{x^2}}\\=\lim_{x \rightarrow 0}{1/2+\frac{o(x^2)}{x^2}}=\frac{1}{2}\\

\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{e^x-x-1}{x^2}}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{1+x-1-x+o(x)}{x^2}}\\=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{o(x)}{x^2}}\\ 法3求不出结果的原因： o(x) 的第一项是 \frac{1}{2}x^2 但是 o(x) 隐藏了这一信息，导致我们只知道 \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{o(x)}{x}}=0 ，而无法得出 \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{o(x)}{x^2}}=0 的值，所以对这一题来说展开到 o(x) 无法得到准确答案。

总结：

由此可见，皮亚诺余项 o(x^{n}) 就是一个多项式，它隐藏了一些信息，我们只知道 o(x^n) 最低次为 x^{n+1} 或者比 x^{n+1} 次数要高，如果求极限 \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{o(x^n)}{x^n}} 我们可以断言是0，而对于 \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{o(x^n)}{x^{n+1}}} 或者分母x次数更高，我们就无法判断其极限是否存在以及如果极限存在其数值是多少。

事实上，有些求极限问题在加减也可以用等价无穷小的本质是因为其“精度”已经足够，等价无穷小的本质就是精度足够的泰勒展开。

例：求极限 \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{x-sinx}{x^{3}}}

我们知道 sinx 和 x 是等价无穷小，如果直接代入 sinx=x 会得到错误的答案：

\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{x-sinx}{x^{3}}}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{x-x}{x^{3}}}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{0}{x^{3}}}=0\\这是因为 sinx=x+o(x) ，无论何时 o(x) 都是存在的，我们不能忽略它，就算是用等价无穷小时没有写 o(x)也不意味着它不存在。所以： \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{x-sinx}{x^{3}}}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{x-x+o(x)}{x^{3}}}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{o(x)}{x^{3}}} ，前面已经叙述这个结果是未知的，因为我们只知道 o(x) 最低次大于x，而其它信息都被隐藏。

\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{x-sinx}{x^{3}}}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{x-(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))}{x^{3}}}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{x^{3}}}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{6}+{\frac{o(x^3)}{x^{3}}}=\frac{1}{6}\\至此，泰勒展开精度不够的问题我们已经解释清楚，这种思维蕴含着巨大的力量，很多类似问题都可以如此分析(比如无穷小之间的加减乘运算，就是多项式在加减乘)。这里用到的都是微积分课本的定义定理，简单且可靠。

应用一：

不需记忆无穷小运算法则，例如 o(x)+o(x^2)=o(x) 只需理解为最低次大于一次的多项式+最低次大于二次的多项式，其和只能确保是最低次大于一次的多项式即 o(x) 。 o(x)\cdot o(x)=o(x^2) 可以理解为最低次大于一次的两个多项式相乘，其最低次可以确保大于二次。

应用二：

当极限表达式分子分母都有泰勒展开时，只需理解为分子分母分别加了一个多项式。

\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{o(x^2)}{o(x)}} 可以理解为最低次大于2的多项式除以最低次大于1的多项式之比的极限，结果是不确定的。例如

\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{x^3}{x^2}}=0 ，然而 \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{x^3}{x^3}}=1 ，即无法确定具体结果。

但是很多题目遇到分子分母都有泰勒展开时，可以确定其极限，例如：\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{o(x^2)}{x+o(x)}}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{o(x^2)/x}{1+o(x)/x}}=\frac{0}{1+0}=0

无论何种情况，理解为分子分母分别加了一个多项式，都可以很快解决这些问题，这里只是举了一个简单的例子。

应用三：

遇到o(x)里的x是函数时，比如：

tan(tanx)-tanx=tanx+\frac{1}{3}(tanx)^{3}+\frac{2}{15}\left( tanx \right)^5+\cdot\cdot\cdot-tanx\\=\frac{1}{3}(tanx)^{3}+\frac{2}{15}\left( tanx \right)^5+\cdot\cdot\cdot\\=\frac{1}{3}(x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3))^{3}+\frac{2}{15}\left( x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \right)^5+\cdot\cdot\cdot\\=\frac{1}{3}x^3+o(x^3)

只需将每个 tanx 进行泰勒展开，算出右边多项式的最低项次数。这个其实不难算出，因为后面的很多项比如 \frac{2}{15}\left( x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \right)^5 的最低次至少为5次，我们往往不需要这么高的精度，根本不需要计算。但是这种题目往往也有别的技巧计算，这种方法计算量有时比较大，看起来复杂麻烦。

尽管文章所举例题都是最简基础的，但是很多难题仍然可以如此理解，这种思想渗透力极强，如果觉得对您有帮助，就请点个赞吧，感谢！

[1]附录：

\lim_{x \rightarrow 0}a_{1}x+a_{2}x^2+\cdot\cdot\cdot=0 的证明：

设 S(x)=a_{1}x+a_{2}x^2+\cdot\cdot\cdot ，那么 \lim_{x \rightarrow 0}a_{1}x+a_{2}x^2+\cdot\cdot\cdot=\lim_{x\rightarrow 0}{S(x)}

S(0)=0+0+\cdot\cdot\cdot+0=0 这是成立的因为这是无穷个0相加，不是无穷个无穷小相加。根据幂级数的阿贝尔第二定理：幂级数收敛点一定连续。故 \lim_{x\rightarrow 0}{S(x)}=S(0)=0 。即 \lim_{x \rightarrow 0}a_{1}x+a_{2}x^2+\cdot\cdot\cdot=0