数学分析(六)

这里只讨论泰勒公式在近似计算上的应用. 在 4,5两节里还要借助泰勒公式这一工具去研究函数的极值与凸性.

例 6 (1) 计算 e \mathrm{e} e 的值,使其误差不超过 1 0 − 6 10^{-6} 10−6; (2) 证明数 e \mathrm{e} e 为无理数.

解 (1) 由例 5 公式 (1), 当 x = 1 x=1 x=1 时,有

e = 1 + 1 + 1 2 ! + 1 3 ! + ⋯ + 1 n ! + e θ ( n + 1 ) ! ( 0 < θ < 1 ) . \mathrm{e}=1+1+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\cdots+\frac{1}{n !}+\frac{\mathrm{e}^{\theta}}{(n+1) !} \quad(0