用泰勒级数来估计函数的近似值

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这是《机器学习中的数学基础》系列的第16篇，也是微积分的最后一篇。

在实际生活和工作中，我们经常希望用多项式来近似某点处的函数值，而泰勒级数就是干这个的。不过在正式介绍泰勒级数之前，我们先来看看高阶导数与函数的凹凸性。

那么什么是高阶导数？顾名思义，高阶导就是求了很多次导数。举个例子，函数y=x³的图像如下：

图1

如图1所示，y的一阶导，也就是第一次求导，y'=3x²，表示图像的斜率。那如果我们对y'再进行求导呢？可以得到y''=6x，它的几何意义又是什么呢？一阶导我们表示的是函数值的变化率，那么二阶导就表示斜率的变化率。进一步，我们说，如果二阶导大于0，说明斜率是在一直增加的，此时函数是个凸函数；同理，二阶导小于0，斜率在一直减小，函数为凹函数。

既然说到了凹凸函数，我们就来看看它的定义（机器学习领域，可能与数学领域有所不同）：

如果一个函数f是凸函数，那么其满足：f(tx+(1-t)y)≤tf(x)+(1-t)f(y)，其中x、y为函数定义域上任意两点，t∈[0,1]。

可能看公式不容易那么理解，我们就来画个凸函数的图像吧：

图2

如图2所示，我们首先来看tx+(1-t)y，它保证了取值范围是在x、y之间。为什么呢？因为t∈[0,1]，把t=0代入，得到y；把t=1代入，得到x。因此tx+(1-t)y的取值在x与y之间。那么它对应的函数值自然就是：f(tx+(1-t)y)。

下面我们看C点的值该如何求，我们再画一个图来说明：

图3

如图3，我们做了一条平行于x轴的线段AE。很容易看出△ACD相似于△ABE，因此有CD/BE=AD/AE。其中，CD的长是我们要求的，BE的长为f(y)-f(x)，AD的长为tx+(1-t)y-x=(1-t)(y-x)，AE的长为y-x。所以，我们有：

约分化简可得CD=(1-t)f(y)+(t-1)f(x)。但我们想知道C的值，只需再加上A点的函数值f(x)就可以了。因此，C点的值为(1-t)f(y)+(t-1)f(x)+f(x)=tf(x)+(1-t)f(y)。Bingo！

我们再来观察图2，它是一个凸函数，那么它的斜率就是不断增加的，也就是说二阶导始终大于0.

有了以上的铺垫，我们来看如何近似函数在某点的值。比如sin(x)在x=0处的函数值sin(0)怎么来近似呢？

我们一般用多项式来估计，先上个二次多项式，f(x)=ax²+bx+c。然后再把sin(x)的图像画出来：

我们现在想用f(x)=ax²+bx+c来近似逼近sin(0)的值，只需确定a、b、c三个参数的值就好了。

首先，这俩函数在0点的函数值得相等吧。也就是说，f(0)=sin(0)，而sin(0)=0，f(0)=c，因此c=0.

然后，这俩函数在0点处的斜率得相同吧。也就是说，它们的一阶导相等，即f'(0)=sin'(0)，而sin'(0)=cos(0)=1，f'(0)=2a*0+b=b，化简可得b=1.

最后，这俩函数在0点处的二阶导也应该相等，即f''(0)=sin''(0)，而sin''(0)=0，f''(0)=2a，因此a=0.

综上，我们用来近似的函数f(x)=0*x²+1*x+0=x。我们说二次多项式中对sin(x)在x=0处最好的近似函数就是f(x)=x，把x=0代入就得到近似值是0。

观察我们上面的近似过程，可以得到下面的式子：

sin(x)≈sin(0)+sin'(0)/1!*x+sin''(0)/2!*x²

我们把它一般化，如果要近似任意函数f(x)在x=0处的值，可以表示为：

如果我们想近似函数f(x)在任意一点x=x0处的值，那么可以表示为：

泰勒级数的应用还有很多，这里就不一一展开了。这就是今天的全部内容，欢迎留言讨论。