高中生如何理解泰勒展开

这仅仅是我自己个人的不成熟的理解，希望能帮助大家理解泰勒展开是怎么来的。有问题希望大家能在评论区友好的指出！

“数学是按照历史发展的顺序来学习的，而不是按逻辑顺序。小学生对于1和{1}的区别仅仅是有大括号和没有大括号。”——小平邦彦（内容大概，具体不记得了）

数学的学习总是从具体到抽象。我不知道为什么下面这个公式(1779)为什么出现晚于泰勒展开(1712)，但是我觉得先学习这个可以更好理解泰勒展开。

拉格朗日插值公式：

我知道你不会认真看它的，你就理解一下它的意思就好了：给你n个点(x,y)，你可以用这个公式找到一个多项式经过这n个点。

就比如：

请你将x1代入f(x)看看发生了什么(请你拿起笔自己算一下，看看发生了什么，虽然我知道你大概是不会算的，但我还是建议你算一下，你会对这个公式有充分的理解)

我们就会发现，f(x1)=y1，进而我们就大概知道了：这个公式可以帮助我们找到一个多项式，它经过这n个点（重复一遍加深记忆）。

打开几何画板，画一条直线，它很光滑，不同于我们用小尺子画的直线会抖一抖：

然后我们画一些多项式的图像它也很光滑：

我们大概都学过高中物理，会让我们用“光滑的”曲线连起来我们要的那几个点，但我们貌似可以画出许多条出来，事实上它光滑吗？

请看下面的这个图（你要看题那我能说什么）：

你怎么知道A是哪条，B是哪条，请问为什么B不是一直处在上面的那条：

很明显啊它非常不光滑，中间断开拼一起一样非常难受，actually，给你一小段曲线，你只能补出一条光滑的曲线来：

比如给你一条线段，你肯定只能补出一整条直线，有人会说：绝对值函数呢？

请问你在P点的导数是多少？

貌似从左边算是-1，右边算是1，难道是0吗？肯定不是啊，这个点就不可导，或者说它的导数不连续，说明它没这么光滑(*)

所以我们大概知道：给你一小段，因为光滑的话导数要连续啊，进而，二阶导也要连续，三阶导也要连续，，，你就能画出整个光滑的曲线出来

接下来我们运用上面加粗这句话来解释泰勒展开。

我给你一段你能知道这个点所有阶导函数吧，然后你要一个函数它在这个点不仅函数值要和它相等，而且二阶导也要相等，，，

所以就有了：

请你现在干三件事情：

这个式子右边是什么类型的代数式？请想清楚为什么它只是一个多项式

请求一下在x0处，右边式子的导数，二阶导，三阶导，并对比左边的导数，二阶导，三阶导，思考我为什么背景知识要给你拉格朗日插值公式（这个时候如果你没算过请回去再算一遍，感受异曲同工之妙）

请你在x0=0时展开一下y=x（笑）

请你再想想：为什么没有绝对值函数的展开

我写这篇文章就是觉得数学很多东西都是相通的，这才是很多时候数学美的地方，希望大家都能体会这种快乐。你当然高考的时候可能只用了泰勒展开的二阶展开或者根本不会用到它，但这也是数学的一部分。严密的逻辑让数学井然有序，不论从什么角度去看都是对的，认识到这点你会更加对知识有敬畏之心，而不是只是会泰勒展开这个名词而已。