复合函数的泰勒展开为啥可以直接带入？

先问是不是

很明显，题主推导过程出错了。

因为对复合函数使用泰勒公式的定义推导，一步一步算下来，是应该要和直接代入一个结果。

上面这句话最重要的部分就是"使用泰勒公式的定义"。

首先泰勒展开过程要有一种计算思维上的整体观，而不是机械的计算过程，否则对于一些必须使用泰勒的灵活题型(微分中值证明题)，公式能默写但是不会用。

在复合函数中，泰勒展开过程只会出现"展开点的移动"，这话对于初学者可能难以理解，下面我就从从泰勒公式的定义出发，推导复合函数泰勒公式，推完就能明白"展开点的移动"是什么意思了。

关于泰勒公式历史背景和概念发展过程就不多说了，直接划推导过程中的重点吧。

其中有 f(x)=P_n(x)+\circ((x-x_0)^{n}) 。

接着对 f(x) 分别求一阶导、二阶导、一直到 n 阶导，将 x_0 代入这 n 个导函数。即可得到下图：

简单的移项代入，即可推导出泰勒公式，到第 n 项(一共n+1项)的展开式 ：

f(x)\approx \sum_{0}^{n}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}{(x-x_0)^n}=P_n(x)\\ 这里写约等于是因为左右两部分之间差一个高阶无穷小余项(皮亚诺余项或者泰勒余项等等)。

当出现复合函数 f(g(x))=f(u), u=g(x), u_0=g(x_0) 时，图1中的表达式变为 ：

P_n(u)=a_0+a_1(u-u_0)+...+a_n(u-u_0)^n\\ 此时，等式两边对 u 求导，可推导出 n!a_n=f^{(n)}(u_0) ，注意这里的 n 阶导数是对 u 求的，即 f^{(n)}(u)=\frac{d^nf}{du^n} .(后面推测题主就在这儿推导出错了)

此时 P_n(u)=\sum_{0}^{n}{\frac{f^{(n)}(u_0)}{n!}(u-u_0)^n} 。

当凑巧 u_0=g(x_0)=x_0 时，自然有 f^{(n)}(u_0)=f^{(n)}(x_0)

代入其中，显然易得复合函数的泰勒展开为 \sum_{0}^{n}{\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(g(x)-x_0)^n} ，这也就是题主所说的答案中直接代入复合函数不改变导数值。

举两个例子。

ln(1+g(x)) 在 x_0 处的泰勒展开式如果想使用ln(1+x) 在 0 处的泰勒展开式，则要求 g(x_0)=0 ，这里被动促成了 u_0=g(x_0)=x_0 ，所以这里能直接代入。

题目中的 e^{x^2} 也是同样道理，想要使用 e^x 在 0 处的泰勒展开式，条件被动促使 {x_0}^2=x_0=0 ，所以这里也能直接代入幂次项而不用考虑改变系数。

但是当 u_0=g(x_0)\ne x_0 时，就不能想当然只代入幂次项，而不考虑"展开点的移动"。

同样是上面的例子， 当需要e^{x^2} 在 2 处的展开式，这句话的意思显然是指 x=2 处展开。

此时， u_0={x_0}^2=4\ne x_0=2 ，此时 f^{(n)}(u_0)=f^{(n)}(4)\ne f^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(2)

那么复合函数展开式的系数，就不等于 e^x 在 2 处的展开式系数了，应该等于平时记忆的泰勒公式在4处的展开式系数 \frac{f^{(n)}(4)}{n!} 。同时，后面的多项式幂函数应该写成 (x^2-4)^n 。

因为泰勒展开是对某点 [x_0,f(g(x_0))]^T 或者 [u_0,f(u_0)]^T 附近区间的函数做一个多项式的逼近。当要对中间变量展开就得在中间变量的集合上取值，当对自变量上展开就得在自变量的集合上取值。对于复合函数 f[g(x)] 对自变量 x=x_0 展开时，先在中间变量 u=u_0=g(x_0) 上取值把关于中间变量的展开表达式写出来，然后再进行换元替换。

题主所说的复合函数等号两侧求导，按照正确的思路，应该设复合函数的高次逼近函数为：

Q_n(x)=P_n(g(x))=a_0+a_1(g(x)-g(x_0))+...+a_n(g(x)-g(x_0))^n ，接着两边对 x 求导。这样计算复合函数展开时，左右两侧复合函数的内导刚好抵消。

我猜测可能是题主错写成Q_n(x)=P_n(u)=P_n(g(x))=a_0+a_1(x-x_0)+...+a_n(x-x_0)^n ，接着等式两边对x求导，导致的错误。这样得到不是泰勒公式，而是一个新的幂级数展开式，而且系数存在对复合函数的高阶导数项，非常复杂，不能起到泰勒公式简化函数的目的。

另外，再补充一个易错点，例题如下：

这里显然有 Q(x)=f(g(x))=f(u)=\frac{1}{1+u} ，那就是需要使用 \frac{1}{1+u} 在 0 处的泰勒公式前 n+1 项 \sum_{0}^{n}{(-1)^nu^n} 。

可以直接代入 u=g(x)=4x^2 得到 \sum_{0}^{\infty}{(-1)^n2^{2n}x^{2n}} .

这里发生了换元中的凑元，对应法则也要改变，即Q(x)=\frac{1}{1+4x^2}=f(4x^2)=f(u),u=4x^2 ，从而有：

\frac{Q^{(2020)}(0)}{2020!}x^{2020}=a_{2020}x^{2020}=\frac{a_{2020}}{2^{2020}}(4x^2)^{1010}=\frac{a_{2020}}{2^{2020}}u^{1010}=b_{1010}u^{1010}=\frac{f^{(1010)}(0)}{1010!}u^{1010}\\这边是为了理解而把过程写得非常繁杂，实际运用中不用如此。推导上面这个等式的意义是要告诉我们，在求含复合函数的泰勒展开时，无论是把复合函数整体对 x 展开再计算高阶导数值，还是把复合函数的外函数对中间变量 u 展开再计算高阶导数值，都是通用的。

而运用过程中，完全不需要考虑上面那项裹脚布一样的式子，只要记住一个形式不变即可。

即泰勒展开式为 \sum_{0}^{\infty}{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k} ，这里的3个 k 的数值是完全相等的，看定义好理解做题容易忘，张宇有个整活别名把前面这句话叫狗的原理。

只要记住，要求函数 Q在 x_0 的 k 阶导，找函数 Q 关于自变量 (x-x_0) 的幂次为 k 的那一项，，另一种就是找复合函数 f(g(x))=f(u) 的外函数 f 关于中间变量 u 的幂次值等于 \frac{k}{g(x)关于x的幂次} 的哪一项。但是找哪个函数简单方便，我想是不言自明的。

如果有哪里有疑问，欢迎咨询：

之前收到私信，发现很多人对泰勒公式和泰勒级数分不清楚，这两者是有一定的差异的。虽然不影响复合函数的泰勒公式中前n项的通项形式 \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n 的分析，但是有人会把复合函数收敛域的计算过程和这里点的移动概念纠缠在一起。所以加更一下泰勒定理、泰勒公式、泰勒级数的区别和联系。

最后，在写这篇回答的时候，发现一系列很有意思的极限，感兴趣的可以练练手

\lim_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{n!}},\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{{\sqrt[n]{n!}}}{n},\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{{\sqrt[n]{n!}}}{n^n},