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已有 1538 次阅读 2024-2-9 11:28 |个人分类:教学|系统分类:教学心得

Sound waves in ideal fluids

南京大學聲學研究所 王新龍

声波是流体媒质的机械扰动，必须遵守流体力学规律。又，流体的机械扰动引起压缩膨胀，必然导致流体局域状态的变化，所以声波扰动也服从热力学定律。声学量是流体状态及运动的扰动量。代之以声学量，流体运动及状态方程遂转化为支配声扰动的声学基本方程。一般而言，声扰动的方程是非线性的。惟日常所闻之声多属微扰，故可对声扰动的方程作微扰（线性化）处理，从而导出奠定线性声学基础的声波方程。文章最后讨论了线性声波方程的平面波解以及行波声学量的若干重要关系。

理想流体属无能量损耗的流体，即热导与黏性所致的能量损耗可忽略不计。声波之压缩膨胀，必致流体局部温度之升降，遂形成空间温度场，而相邻空间区域之温差必致热导。惟声波的压缩膨胀交变过程如此快速，以致邻近区域因温差所致的热导几可忽略。所以，理想流体中声波的压缩膨胀过程可视为绝热，流体质点的熵是时间常数。黏性源自流体的内摩擦，导致宏观有序的声波机械运动转化为微观无序的分子热运动。但对多数常见流体，非极高频率之声波，其粘性一般较弱，在有限的时空范围内也可忽略。

《流体力学引论》一文详述了理想流体运动所遵循的基本方程，本文仅概述其结果如下。设理想流体的密度ρ(x,t)，压力P(x,t)，单位体积有质量源流ρq(x,t)产生，且单位体积受外力f(x,t)的作用，其中q(x,t)是流体的体积产生率，x在欧拉描述下是流体三维空间矢量，而在拉格朗日描述下则是流体质点的三维位置矢量。所谓质点，可视为一个流体微团。它体积足够小，使得相关的物理量在其上几乎不变，故可被视之为空间的点。它又足够大，足以包含大量的流体分子，从而具有统计物理意义下的状态物理量如密度ρ、压力P、温度T等。首先，从质量守恒定律可导出质量的连续性方程，

                                                      （1a）

简称 连续性方程，其中微分算符 

这是欧拉描述体系下的方程形式。连续性方程也可以写成拉格朗日描述下的等价形式

                                                         （1b）

其中利用了全导数与偏导数的关系，

.                                                          （2）

从（1b）可见，在无源的情形（q=0）下，质点质量密度的时间变化与速度散度相关。《流体的弹性》一文定义了容变Δ的时变率——容变率dΔ/dt，它等于速度散度

                                                                 （3）

据此，连续性方程（1b）也可表达成

其次，根据牛顿定律，可以导出支配流体运动的微分方程——欧拉方程：

                                                                        （4a）

利用微分算符关系（2），欧拉方程在欧拉描述体系下可以表为

                                                       （4b）

欧拉方程其实体现了流体运动的动量守恒。 

除此之外，尚须加上描述流体状态关系的热力学方程。对于理想流体的绝热过程，状态方程可表为单元函数；例如，若以密度ρ为状态自变量，则压强可表为密度的单元函数，

                                                                                     （5）

在声学中，定义状态的导出参量c，

根据热力学关系，c和绝热体弹性系数κ（或压缩系数β）之间存在如下重要关系

                                         （6）

必须强调，状态方程反映了质点的状态关系。对状态方程（5）求时间全导，得到质点在运动过程中的状态变化：

代入连续性方程（1b）遂有

                                                                     （7）

其中，利用了关系（6）。方程（4a）和（7）构成了流体质点运动的一对基本方程组。

声波是媒质在其平衡态附近扰动形式的传递，因此诸如压强P、密度ρ诸媒质状态量可表达为

其中P0和ρ0是无扰动时的静压和静密度，p(x,t)和ρ'(x,t)是压强的扰动量和密度的扰动量。压强扰动量即声压。在声学问题中，媒质质点仅在其平衡态位置附近来回振动，故流速（即质点的振速）v（量值为v）也是扰动量。凡偏离平衡位置的扰动量统称声学量。在本文的讨论中，假定媒质是均匀时不变的，P0和ρ0皆为常数。把上式 代入（4）和（7），得到一对声学量v和p的耦合方程：

                                                                    （8a）

根据时间全导数与偏导数的关系（2），其等价形式为，

                                                 （8b）

此外，根据绝热状态方程，ρ、β、κ和c皆可视为声压p的单元函数；例如， 

                                                  （9）

一般为非线性函数。其实，方程组（8）-（9）也是非线性的，故而声波具有固有的非线性。

线性声学假设所有的声学量皆为一阶小量。设ε为正小参量：0