误差和误差限

在数值计算中使用的数通常有两种类型：一种是能够准确反映客观事物数量关系的精确数，如班级有30人，有 1 2 \frac{1}{2} 21​为男生；另一种是近似反映客观事物数量关系的近似数，如书重0.15kg。如果改变观测方法、提高测量精度，这些数据会更准确些，但仍然会和实际值之间存在着一定差异，这种差异就是误差。因此，如何控制计算误差、提高计算精度是重要问题

设数 x ∗ x^* x∗为精确数（精确值或真值），数x为其近似数（近似值），则 e ( x ) = x ∗ − x e(x)=x^*-x e(x)=x∗−x 称为近似值x的绝对误差。一般情况下，人们无法准确地知道精确值 x ∗ x^* x∗的大小，但根据具体的测量和计算情况，如果总有 ∣ e ( x ) ∣ = ∣ x ∗ − x ∣ ≤ ϵ |e(x)|=|x^*-x|\leq \epsilon ∣e(x)∣=∣x∗−x∣≤ϵ 成立，则称 ϵ \epsilon ϵ为近似值 x x x的绝对误差限。显然有 x − ϵ ≤ x ∗ ≤ x + ϵ x-\epsilon\leq x^*\leq x+\epsilon x−ϵ≤x∗≤x+ϵ 这表明精确数介于某两个数之间。因此在工程上，精确值 x ∗ x^* x∗常常可表示成另一种形式： x ∗ = x ± ϵ x^*=x\pm \epsilon x∗=x±ϵ 绝对误差不足以刻画近似数的精确程度，除了绝对误差以外，还必须考虑此数本身的大小，即有相对误差的概念。

定义近似数x的相对误差为： e r ( x ) = ( x ∗ − x ) / x ∗ e_r(x)=(x^*-x)/x^* er​(x)=(x∗−x)/x∗ 由于精确数 x ∗ x^* x∗在一般情形下无法得知，而 x ≈ x ∗ x\approx x^* x≈x∗，故相对误差常用下列定义： e r ( x ) = ( x ∗ − x ) / x e_r(x)=(x^*-x)/x er​(x)=(x∗−x)/x 相应地，相对误差限 ϵ r \epsilon_r ϵr​定义为： ∣ e r ( x ) ∣ = ∣ x ∗ − x x ∣ ≤ ϵ |e_r(x)|=|\frac{x^*-x}{x}|\leq \epsilon ∣er​(x)∣=∣xx∗−x​∣≤ϵ