2024新高考一卷数学压轴题分析

考后第一时间根据复刻版写下此篇题解，竝发表一些个人看法。

民间答案：B

如预测的一般，单选竝没有压轴。第八题是 Fibonacci 数列，只要你看懂了递推式竝写出每个 \(f(i)\) 的下界即可。选项设置颇显随意：CD 两项小于号，直接排除了。

已知曲线 \(C\) 如图过原点，到 \(F(2,0)\) 的距离与到定直线 \(x=a\) 的距离乘积为 \(4\)，则： A \(a=-2\) B \((2\sqrt{2},0)\in C\) C \(C\) 在第一象限内点最大纵坐标为 \(1\) D \((x_0,y_0)\in C\)，则 \(y_0\le \dfrac{4}{x_0+2}\)

民间答案：ABD

写出一个粗略的方程 \((x+2)\sqrt{(x-2)^2+y^2}=4\)（\(a=-2\) 根据过原点得出），ABD 显然正确不再赘述，关注 C。考虑 \(y=1\) 时第一象限的情况，此时 \(x\) 满足 \((x+2)\sqrt{(x-2)^2+1}=4\) 且 \(x>0\)，化简得 \(x^4-7x^2+4x+4=0\)，注意到 \(x=2\) 为一根，于是因式分解得 \((x-2)(x^3+2x^2-3x-2)=0\)，问题转化成第一象限内 \(y=x^3+2x^2-3x-2\) 是否有根，如果有根则 C 错。

设 \(f(x)=x^3+2x^2-3x-2\)，则 \(f(0)=-20\)，因此 \(f(x)\) 在 \((0,2)\) 上存在一根，C 错误。

评价：题目中规中矩，新定义曲线问题也再常见不过，但是选项设置略欠火候，正确选项都能一眼看出。大学背景由于笔者知识限制暂未明确。

Alice 拥有 \(1,3,5,7\) 四张卡片，Bob 拥有 \(2,4,6,8\) 四张卡片，每轮游戏两人随机在自己的卡片中抽取一张，数字大的加一分，然后扔掉各自的卡片。问四轮后 Alice 得分不小于 \(2\) 的概率。

民间答案：\(\dfrac{1}{2}\)

按照题意，我们需要考虑哪些情况下 Alice 能获得至少两分。下面直接用形如 \((12,34,56,78)\) 的数组表示一场游戏，显然总共有 \((4!)^2=576\) 种局面。

如果 Alice 获得三分，那么会形成一种田忌赛马的局面：\((\color{red}{32},\color{red}{54},\color{red}{76},18)\)，然后任意排列这四局，共有 \(4!=24\) 种情况。

如果 Alice 获得两分，那么考虑 Alice 用哪两个数赢的：

用 \(3,5\)，即 \((\color{red}{32},\color{red}{54},78,16)\) 共 \(4!\) 种情况； 用 \(3,7\)，即 \((\color{red}{32},\color{red}{7?},1?,5?)\) 共 \(3\times 4!\) 种情况； 用 \(5,7\)，再分类讨论：\((\color{red}{52},\color{red}{74},1?,3?)\) 共 \(2!\times 4!\) 种、\((\color{red}{52},\color{red}{76},1?,3?)\) 共 \(2!\times 4!\) 种、\((\color{red}{54},\color{red}{72},1?,3?)\) 共 \(2!\times 4!\) 种、\((\color{red}{54},\color{red}{76},1?,3?)\) 共 \(1\times 4!\) 种。

因此答案为 \(\dfrac{1+1+3+2+2+2+1}{4!}=\dfrac{1}{2}\)。

评价：这道题就是普通的高中概率题，只是笔者的做法略麻烦。做完这道题之后才发现所有的 \(4!\) 本就可以在一开始避免，因为顺序显然是可忽略的。答案很有趣，看起来不公平的一个游戏，Alice 得分过半的概率竟然很高。

设 \(m\) 为正整数，数列 \(a_1,a_2,\dots,a_{4m+2}\) 是公差非零的等差数列，若从中删去两项 \(a_i,a_j(i1\)，那么公差可以是 \(j-i\)，容易通过在区间 \([4i+1,4j+2]\) 上对 \(j-i\) 取余数证明这样是能构造出来的。这样就又是 \(\dbinom{m+1}{2}-m=\dfrac{m^2-m}{2}\) 种情况。

这时候检查一下概率：由于 \(m\ge1\) 所以 \(6m+1\dfrac{m^2+m}{8m^2+8m}=\dfrac 18\)，原命题得证。

评价：这道题据说和北京卷用的一道（已打假），确实让人第一眼就是扑面而来的北京味道，而不是一些粗制滥造的大学新定义。题目竝不难，对于训练有素的 MOer 和 OIer 来说应当第一眼就想到按照余数分组。笔者不清楚普通高中生视角下的本题会如何，但前两问至少是可做的。观察到只需要考虑下标和按余数分组是本题的两个重点，这需要一丝丝直觉。这道题由于没有以新定义形式给出的现有理论，自然不涉及九省联考式篡改符号的问题，难度中规中矩，有不错的区分度，可以认为强于九省联考。但是难度似乎不如旧高考压轴导数、圆锥曲线以及历年北京卷，猜测是由于该类题目第一次加入新高考，追求了批阅方便。即便如此，这道题的批阅准确度仍然令人担忧：由于答案靠构造得出，很有可能有数种不同的构造，这会导致许多构造正确的同学被不仔细看的阅卷者扣除分数。笔者曾根据本市模考批阅情况预测，为批阅方便该题最后一问将是求值题，但此题仍然含有大量证明，可见出题者似乎高估了一般阅卷教师的数学水平和专心程度。因此，综合以上因素，笔者认为这是一道中等水平的高考压轴题，可以为将来的高考提供一定的参考。但仍然要注意的是：在反套路的当下，不可将任何一套试卷奉为圭臬。九省联考后各地各校模拟题趋之若鹜，有许多 19 题甚至称得上「群魔乱舞」，但从真题来看，仍然未变通太多。因此 25 届及以后的考生应当注意博采众长，全面发展能力。