基于数学推导&编程递归解决珐露珊角色邀约任务“堆栈塔”（汉诺塔）最少步数问题

    珐露珊角色邀约任务中，有段分支提到了前辈发现的一种益智机关“堆栈塔”。现实当中，堆栈塔的原型其实就是汉诺塔问题（Hanoi Tower），先来看看游戏剧情里是如何介绍堆栈塔的

    用汉诺塔的模型来解释玩法：给定3根柱子A,B,C，初始有n个圆环（记为1至n号，由小到大排序）在A上，最终目标是通过若干步移动，将所有圆环都移动到B上，且移动的规则为：

    ①1次移动只能1个圆环（且应当是A/B/C最上面的圆环）

    ②始终要求小号圆环堆叠在大号圆环上（形如金字塔形，例如不能将2号圆环移动到1号圆环之上）

    下面UP将使用数学推导来解释最少步数的解法，并用编程解递归问题进行验证，最后阐述下本人的一些想法。

    我们设圆环数为n，将n个圆环从A全部移到B所需的最少步数为an

    首先，最简单的情况，就是仅1个圆环（n=1）时，只需要把A上的1号环移动到B即可，最少移动步数为1，a1=1，如下图：

    接下来我们考虑n＞1的情形：

    如果我们要将所有圆环移到B，必经的一步当然是把n号圆环从A移到B，前提是要把1至n-1号圆环全部移走，并留出A、B两个柱子让第n号圆环进行移动操作。因此，1到n-1号圆环就只能按金字塔顺序堆叠在C上了。如下图3所示：

    那么怎么从初始状态图1变到图3的情形呢？不难发现，从图1到图3本质上只是将第1至n-1号圆环从A全部移动到C而已，这需要的最少步数是an-1。说明如果你每步都走最优路线，那么图3就是第an-1步。

    接着上面的操作，我们将第n号圆环从A移到B，这是第(an-1)+1步,得到下面的图4：

    到达图4的情形后，我们下一步要将剩下的n-1个圆环全部叠到B上，细心的同学已经发现，这本质上也是将第1至n-1号圆环从C全部移动到B而已，需要的最少步数仍然是an-1。完成以后，就达到我们的目标啦↓

    通过上述描述，我们将n层汉诺塔解法分解为3个步骤：

    ①将n-1层汉诺塔整体从A移动到C，最少步数为an-1

    ②将第n个圆环从A移动到B，所需步数为1

    ③将n-1层汉诺塔整体从C移动到B，最少步数为an-1

    将上述三点的步数相加，由此求得所需最少步数的递推公式：

    根据递推公式，可以解得an的表达式：

    我们不妨代入前8个正整数试试：

    回到邀约任务的剧情，可见前面几位小盆友在玩n=4和5的堆栈塔时，都没能实现最少步数。而前辈向旅行者提问的是n=7的情形，运用数学推导不难得到答案是127步↓

    众所周知，2×(2^(n-1)-1) + 1 = 2^(n) - 1，所以公式是没有问题的↓

    这个游戏还是蛮有趣的，作为益智玩具（机关）都是不错的想法，只能说不愧是前辈😅

    对于进修过编程类课程的大学生来说，汉诺塔应该是再经典不过的递归问题了。上文已经通过数学推导掌握了规律，那么就可以通过递归算法重构汉诺塔模型，然后丢给计算机来思考就行。

    实现过程也很简单，我们先构建2个函数↓

    ①move函数

    该函数表示单独1次移动的操作，形参src和dest分别表示拿出圆环和放入圆环的两根柱子，也就是将src最上方的圆环移动到dest上，同时用count记录1次移动次数。

    ②hanoi函数

    hanoi函数是递归函数，其算法原理就是先前讨论过的三个步骤。当输入层数n，初始柱src，中间柱medium，目标柱dest后，如果n=1，就只需调用一次move函数。否则就要拆分成三个步骤：

    （1）把1至n-1号的圆环从初始柱src移动到medium（注：此时递归函数hanoi中的目标柱变成了medium，而中间柱变成了dest）。

    （2）把第n号圆环从src移动到dest（调用一次move函数即可）。

    （3）将剩下的在medium里的n-1层圆环全部移动到dest（此时递归函数hanoi中初始柱为medium，目标柱为dest）

    最后来个实例，我们利用上述2个函数编写n=4时的输出代码：

    运行一下，可以得到n=4的最少步数以及每一步的移动方法：

    当然，也可以略微修改代码来输出每个n对应的最少步数：

    任取正整数n，只需要跟着计算机的每一步走，就能以最少的步数完成目标。当然，hanoi塔毕竟是一款益智游戏，还是自己动手玩比较有意思🤗

    原神的文案策划是懂命名的，因为汉诺塔每根柱子处理圆环的方式和计算机术语中的“堆栈”是相似的，可以了解下【栈】的定义：

      说简单些，就是将若干个元素依次存进一个列表里，但是只允许对栈顶元素（最新存入的元素）进行插入、删除等操作，那么这个受限制的线性表就称为【栈】。

    对于汉诺塔的三根柱子，可以视为三个堆栈，每根柱子最上面的圆环就是所谓的栈顶元素。因为如果要想移动A柱子上的圆环，有且仅有最上面的圆环可以取走，同时，如果想要把新的圆环放进A，有且仅有最上面的位置可以堆叠（而不能从中间插入）。

    严格上讲，汉诺塔的存放方式比堆栈更加严格，因为汉诺塔还要求大圆环（高值元素）不能堆叠在小圆环（低值元素）之上…

    这么一看，用“堆栈塔”来命名，确实是挺合理的嘛 (o゜▽゜)o