右圆锥体的体积与表面积(视频与练习)

嘿,伙计们!欢迎来到今天的视频，我们将讨论锥的体积和表面积。我们知道锥体实际上很像金字塔。金字塔的底部是正方形的，与另一端的尖尖相连，而锥体的底部则是圆形的。

在深入研究细节之前，让我们确保您熟悉体积和表面积的概念。这是两个关键特征3 \ \ ()-维的形状有。体积里面的空间是\ (3 d \)物体，和表面积，嗯，就是这个!它是一个形状表面的总面积。把体积想象成你可以装满一个物体的液体量，把表面积想象成你可以在物体上裹多少纸。每个立方体、球体、圆柱体、圆锥体(当然)等等都有体积和表面积;每一种形状的测量公式都是不同的。

在圆锥的情况下，体积公式是这样的:

我们的表面积公式是这样的

在哪里\ (r \)，\ \ (h),\ (l \)在圆锥上表示不同的测量值。但是，这些字母(或者，我们在“数学世界”中所说的，变量)代表什么?

的\ (r \)表示圆锥圆底的半径。

的\ \ (h)表示圆锥的高度。更具体地说，它是从圆底中心到圆锥体顶端的一条假想线的长度。

最后,\ (l \)表示倾斜高度。把它想象成一条从锥体顶端延伸到底部边缘的直线。

所以，要解体积和表面积方程，我们只需将锥体的测量值代入相应的变量。让我们举一个简单的例子。

假设有一个圆锥，它的底半径是3 \ \ ()单位，高度测量\ [4 \)单位和倾斜高度测量\ (5 \)单位。首先，求它的体积。

所以,\ (V = \压裂{1}{3}\πr ^ {2} h \)．我们重写一下这个公式。我们知道半径等于3 \ \ ()，所以我们要代入3 \ \ ()为我们的\ (r \)．高度等于\ [4 \)．所以当我们把它乘出来，我们得到:

这是:

等于π\ (12 \ \)．所以这个锥体的体积是π\ (12 \ \)(或约\ \ (37.7))立方单位。

注意体积的单位是立方。想想厘米立方，英寸立方，英尺立方(或“立方英尺”)等等。

好了，现在我们求一下这个小家伙的表面积。所以:

然后代入变量的数值。所以:

所以:

等于24 \π\ \ ()．最后，我们会说表面积是24 \π\ \ ()(或约\ \ (75.4))平方单位。注意它的测量方法!因为我们在讨论面积，所以我们使用平方单位。

代入值很简单\ (r \)，\ \ (h),\ (l \),对吧?好吧，如果我们想知道我们需要多大的冰淇淋蛋卷才能装得下呢\ (30 \)放几立方英寸的软甜点进去?

因为我们现在的方程中只有一个未知变量，因为我们已经知道了这个锥体的体积(\(30 \文本{}^ {3}\))，我们将需要决定一个固定的值的圆锥的高度或基地的半径。假设我们想让锥体精确\ (10 \)英寸的高度(所以\ (h = 10 \文本{}\))．现在要做的就是弄清楚是什么\ (r \)= !换句话说，我们需要知道这个锥体的开口有多宽。

首先，我们用已知的信息建立体积方程。所以:

体积等于\ (30 \)立方英寸。\ \(压裂{1}{3}\π\)保持不变。我们在寻找\ (r \)，所以我们把它作为\ (r ^ {2} \),\ (h = 10 \文本{}\)．

如果我们稍微重新排列一下，我们会得到这个:

现在，我们试图得到\ (r \)在等号的一边，要做这个，我们要在两边同时乘以10 \ \(\压裂{3}{π}\)．当我们这样做的时候，乘以10 \ \(\压裂{3}{π}\)在左边，10 \ \(\压裂{3}{π}\)右边:

这就得到了:

然后我们可以进一步化简得到:

然后，我们要做的就是两边同时取平方根。当我们这样做时，我们得到:

事实上，由于圆锥体的线性尺寸是以英寸为单位的，我们知道这一点\ (r \)大约是{英寸}\ \ 1.7 \文本)．

好吧,太酷了!如果我们想算出刚才讨论的那个锥的表面积呢?我们现在知道了这个圆锥体的三个重要尺寸:它的体积、它的高度和它底的半径。记住，在表面积方程中，我们需要锥体的半径和斜高来求表面积。信不信由你，我们可以计算斜高度使用\ \ (h)的值，并使用\ (r \)-我们刚刚找到的值。我们只需要使用勾股定理。

让我们看看这个圆锥的横截面:

因为这是一个直角三角形，我们可以用\ (r ^ {2} + h ^ {2} = l ^ {2} \)求斜边，也就是斜边的高度。我们来算一下。记住，我们刚看过\ (r ^{2} = \压裂{9}{\π}\)．所以我们可以代入\ \(压裂{9}{\π}\)在\ (r ^ {2} \)．+\ (h ^ {2} \)，\ \ (h)是\ (10 \)，\ (10 ^ {2} = 100 \)，所以加上\ (100 \)．=\ (l ^ {2} \)我们正在寻找\ (l \)．

现在我们要化简左边的加法。所以我们要继续\ \(压裂{9}{\π}\)相同的。然后我们需要这两部分的公分母，所以我们要通过相乘来做\(100\times \frac{\pi}{\pi}\)．当我们这样做的时候，我们得到\(\frac{100\pi}{\pi}\)．=\ (l ^ {2} \)．

现在两个分数的分母是一样的，可以像平常一样相加。

现在我们要做的就是两边同时取平方根。当我们这样做时，我们会得到:

所以斜高度大约是\ \ (10.1)英寸。

太棒了!现在，我们用它来求表面积。

\ (r \)大约是\ \ (1.7)．

然后，如果你把这个代入计算器，你会得到:

就是这样!只要知道圆锥体的体积和高度，我们就能求出它的半径，它的斜高，和它的表面积。

我想再做一个例子，但首先，让我告诉你们古代数学家是如何想出这些体积和表面积公式的。为什么我们要分裂\ \(πr ^ {2} h \)通过3 \ \ ()在体积方程中?为什么我们只关心\ (r \)- - -\ (l \)-当我们找到表面积?

要回答第一个问题，你需要知道一个事实:锥体的体积是\ \(压裂{1}{3}\)圆柱体的体积大小，只要它们有相同大小的圆形底座。来看看:

的\ (r \)- - -\ \ (h)-这两个物体的值是相同的，我们知道圆柱体的体积方程为\ (V = \πr ^ {2} h \)．因此，既然这个圆柱体可以容纳3 \ \ ()乘以里面的东西，我们得到锥的体积等于\ \(压裂{\πr ^ h} {2} {3} \)．

至于锥体的表面积，我们需要考虑它的两个不同的“面”\ (3 d \)形状。在底部有一个圆，有一个连接底和端点的曲面。所以，我们需要加上圆的面积(记住，这是\ \(πr ^ {2} \))到曲面的面积(即\ \(πrl \))．

了解了所有这些之后，让我们来看最后一个例子。

假设我们有一个巨大的圆锥，其底部的直径是\ (10 \)英尺，高度测量\ (12 \)脚，会需要一个\ (13 \)用一根一英尺长的绳子连接从顶端到底部边缘的一条直线。我们知道如何求出锥体的表面积和体积。

首先，让我们在音量上做文章!再说一次，我们有这个\ (V = \压裂{1}{3}\πr ^ {2} h \)．但是，记住，我们得到的是圆底的直径，而不是半径。我们不能把\ (10 \)到\ (r \)的位置。相反，我们使用我们所知道的直径和半径之间的关系:圆的半径是\ \压裂{1}({2}\)它的直径。所以这个圆锥体的半径是\ (5 \)脚;现在求体积很简单。

如果我们代入已知的变量，我们得到:

所以体积是\(100\pi \text{ft}^{3}\)．

最后，求表面积。

当我们代入已知变量时，我们得到:

等于\(90\pi \text{ft}^{2}\)．所以我们知道我们需要\(90\pi \text{ft}^{2}\)用这么多包装纸把它包起来!

我希望这能让你们更好地理解锥体让你们对求任何锥体的体积和表面积有信心。感谢收看，学习愉快!