7.1条件概率与全概率公式 专项练习（含解析）

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7.1条件概率与全概率公式专项练习一、单选题1．学校食堂分设有一 二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（ ）A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.652．已知，则（ ）A． B． C． D．3．小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.54．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为偶数}， {两次的点数之和为6}，则（　　）A． B． C． D．5．第19届亚运会即将在西子湖畔----杭州召开，为了办好这一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛会志愿者招募，在杭大学生纷纷踊跃参加.现有4名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在游泳、篮球、体操三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到游泳项目的条件下，乙也被安排到游泳项目的概率为（ ）A． B． C． D．6．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ）A． B． C． D．7．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，种子发芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为A．0.02 B．0.08 C．0.18 D．0.728．将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立C． D．二、多选题9．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）A．、为对立事件 B．C． D．10．甲箱中有个白球和个黑球，乙箱中有2个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ）A．两两互斥 B．C．事件与事件相互独立 D．11．甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，分别以，，表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，则（ ）A．B与相互独立 B．，，两两互斥C． D．12．袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球.记事件A=“第一次抽到的是白球”，事件B=“第二次抽到的是白球”，则（ ）A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立C． D．三、填空题13．从一个装有大小和质地相同的4个白球和2个黑球的袋子中，不放回地抽取两次，每次取一球，若第一次已经取到了白球，则第二次又取到白球的概率为___________．14．已知一种元件的使用寿命超过年的概率为，超过年的概率为，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为_____.15．甲乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0．6和0．5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为__________．16．某地四月份刮东风的概率是，下雨概率为，在刮东风的条件下下雨的概率是，则该地四月份下雨的条件下，刮东风的概率为________四、解答题17．从人群中随机选出1人，设“选出的人患有心脏病”，“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”，请你判断和的大小，并说明理由.18．有个乒乓球，其中个红的，个白的，每次取一个，不放回地取两次，求第一次取到红球的情况下，第二次取到红球的概率．19．某年级有6名数学老师，其中男老师4人，女老师2人，任选3人参加校级技能大赛.(1)设所选3人中女老师人数为，求的分布列；(2)如果依次抽取2人参加县级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师的概率.20．有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工零件的次品率为4%，第2，3台加工零件的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的25%，35%，40%.记为“零件为第台机床加工”.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的一个零件是次品，计算它是第3台机床加工的概率.21．某商店收进甲厂生产的产品箱，乙厂生产的同种产品箱，甲厂每箱装个，废品率为，乙厂每箱装个，废品率为，求：(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率．7.1条件概率与全概率公式专项练习解析版一、单选题1．学校食堂分设有一 二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（ ）A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.65【答案】D【分析】利用全概率公式求解即可.【详解】设为“第一天去一餐厅用餐”，为“第一天去二餐厅用餐”，为“第二天去一餐厅就餐”；则,,,由全概率公式可知,故选：D.2．已知，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由条件概率公式求出，进而利用互斥事件概率公式求出答案.【详解】由，.故选：D.3．小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】D【解析】根据条件概率，即可求得在第一个路口遇到红灯，在第二个路口也遇到红灯的概率．【详解】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件“小明在第一个路口遇到了红灯，在第二个路口也遇到红灯”为事件则，，故选D.【点睛】本题考查了条件概率的简单应用，属于基础题．4．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为偶数}， {两次的点数之和为6}，则（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据条件概率的计算公式，准确计算，即可求解.【详解】由投掷一枚骰子两次，事件{两次的点数均为偶数}， {两次的点数之和为6}，基本事件的个数为种，可得，又由事件所包含的基本事件为，共有2中情况，所以，所以.故选：C.5．第19届亚运会即将在西子湖畔----杭州召开，为了办好这一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛会志愿者招募，在杭大学生纷纷踊跃参加.现有4名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在游泳、篮球、体操三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到游泳项目的条件下，乙也被安排到游泳项目的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用条件概率的公式直接求解即可.【详解】记“甲被安排到游泳项目”为事件A，记“乙也被安排到游泳项目”为事件B，甲被安排到游泳项目分为两类，甲一人被安排到游泳项目的种数为，两人被安排到游泳项目的种数为，故种数为，甲乙被同时安排到游泳项目的种数为，所求概率为.故选：B.6．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答.【详解】令“玩手机时间超过的学生”，“玩手机时间不超过的学生”，“任意调查一人，此人近视”，则，且互斥，，，依题意，，解得，所以所求近视的概率为.故选：B【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B的概率问题，把事件B分拆成两个互斥事件与的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.7．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，种子发芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为A．0.02 B．0.08 C．0.18 D．0.72【答案】D【详解】设“这粒水稻种子发芽”为事件A，“这粒水稻种子成长为幼苗”为事件AB，“这粒水稻种子发芽后又能成长为幼苗”为事件B|A，由P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.9，得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.考点：条件概率.8．将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立C． D．【答案】D【分析】由古典概率公式求出，再利用相互独立事件的定义判断A，B；用条件概率公式计算判断C，D作答.【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有个基本事件，它们等可能，事件A含有的基本事件数为，则，同理，事件AB含有的基本事件数为，则，事件AC含有的基本事件数为，则，对于A，，即事件A与B相互不独立，A不正确；对于B，，即事件A与C相互不独立，B不正确；对于C，，C不正确；对于D，，D正确.故选：D二、多选题9．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）A．、为对立事件 B．C． D．【答案】AB【分析】只需注意到事件B是在事件或发生之后可解.【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故D不正确；，故 C不正确.故选：AB10．甲箱中有个白球和个黑球，乙箱中有2个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ）A．两两互斥 B．C．事件与事件相互独立 D．【答案】AD【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.【详解】因为每次取一球，所以是两两互斥的事件，故A项正确；因为，，故B项错误；又，所以，故D项正确.从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B与事件不相互独立，故C项错误.故选：AD11．甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，分别以，，表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，则（ ）A．B与相互独立 B．，，两两互斥C． D．【答案】BC【分析】根据独立事件的定义判断A，根据互斥事件的定义判断B，由条件概率公式计算出概率判断C，由互斥事件与独立事件概率公式计算概率判断D．【详解】事件的发生与事件的发生有影响，因此事件的发生与事件不独立，A错；中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，B正确；，C正确；，D错．故选：BC．12．袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球.记事件A=“第一次抽到的是白球”，事件B=“第二次抽到的是白球”，则（ ）A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立C． D．【答案】CD【分析】根据互斥事件以及相互独立事件的概念，可判断A,B; 事件B=“第二次抽到的是白球”，分两种情况，即第一次抽到红球第二次抽到白球和第一次抽到白球第二次也抽到白球，由此判断C;根据条件概率的公式计算，可判断D.【详解】对于A,由于第一次抽到的是白球和第二次抽到白球，可以同时发生，故事件A与事件B不互斥，A错误；对于B，由于是从袋中不放回的依次抽取2个球，因此第一次抽球的结果对第二次抽到什么颜色的球是有影响的，因此事件A与事件B不是相互独立关系，B错误；对于C，事件B=“第二次抽到的是白球”，分两种情况，即第一次抽到红球第二次抽到白球和第一次抽到白球第二次也抽到白球，故，故C正确；对于D， ,故,故D正确，故选：CD三、填空题13．从一个装有大小和质地相同的4个白球和2个黑球的袋子中，不放回地抽取两次，每次取一球，若第一次已经取到了白球，则第二次又取到白球的概率为___________．【答案】##0.6【分析】合理设出事件，利用条件概率进行计算【详解】记第一次取到白球为事件A，记第二次取到白球为事件B，则第一次已经取到了白球，第二次又取到白球为事件，其中则故答案为：14．已知一种元件的使用寿命超过年的概率为，超过年的概率为，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为_____.【答案】0.75【解析】结合条件概率计算公式，代入数据，即可．【详解】记使用寿命超过年为事件，超过年为事件，，故答案为：0.75.15．甲乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0．6和0．5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为__________．【答案】##【分析】根据对立事件及条件概率的公式即可求解.【详解】记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，所以，所以目标是被甲击中的概率为.故答案为：.16．某地四月份刮东风的概率是，下雨概率为，在刮东风的条件下下雨的概率是，则该地四月份下雨的条件下，刮东风的概率为________【答案】【分析】设四月份刮东风的事件为A，下雨事件为B，根据在刮东风的条件下下雨的概率求得，再根据条件概率公式求得答案.【详解】设四月份刮东风的事件为A，下雨事件为B，则 ,则在刮东风的条件下下雨的概率为 ,即，故该地四月份下雨的条件下，刮东风的概率为,故答案为：四、解答题17．从人群中随机选出1人，设“选出的人患有心脏病”，“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”，请你判断和的大小，并说明理由.【答案】【分析】根据事件之间的包含关系即可解答.【详解】由题可知：事件“选出的人患有心脏病”，事件“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”，显然事件包含事件，所以，当且仅当时取等号（即选出的人患有心脏病且都大于50岁）.18．有个乒乓球，其中个红的，个白的，每次取一个，不放回地取两次，求第一次取到红球的情况下，第二次取到红球的概率．【答案】【分析】由条件概率的定义求解【详解】设“第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件．第一次取到红球后，还有4个乒乓球，2个红球，则 ．19．某年级有6名数学老师，其中男老师4人，女老师2人，任选3人参加校级技能大赛.(1)设所选3人中女老师人数为，求的分布列；(2)如果依次抽取2人参加县级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师的概率.【答案】（1）见解析；（2）.【分析】（1）由题设知，的可有取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列；（2）根据条件概率计算公式可计算得最后结果.【详解】(1)的所有可能取值为，依题意得：，，，∴的分布列为：0 1 2(2)设第1次抽到男老师为事件，第2次抽到男老师为事件，则第1次和第2次都抽到男老师为事件，根据分步计数原理，，所以.20．有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工零件的次品率为4%，第2，3台加工零件的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的25%，35%，40%.记为“零件为第台机床加工”.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的一个零件是次品，计算它是第3台机床加工的概率.【答案】(1)0.055(2)【分析】（1）利用全概率公式求解；（2）利用条件概率求解.（1）解：令“任取一个零件为次品”，由题意，且，，两两互斥，由全概率公式得：，.（2）；所以取到一个零件是次品是第3台机床加工的概率为.21．某商店收进甲厂生产的产品箱，乙厂生产的同种产品箱，甲厂每箱装个，废品率为，乙厂每箱装个，废品率为，求：(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率．【答案】(1) (2)【分析】（1）记事件为“任取一箱为甲厂的产品”，事件为“任取一箱为乙厂的产品”，事件为“从中任取一个为废品”，由题意得，，，，利用全概率公式可求得的值；（2）记事件为“任取一箱为甲厂的产品”，事件为“任取一箱为乙厂的产品”，事件为“从中任取一个为废品”，求出、以及，，利用全概率公式可求得的值.(1)解：记事件为“任取一箱为甲厂的产品”，事件为“任取一箱为乙厂的产品”，事件为“从中任取一个为废品”，则，且、互斥，由题意，得，，，，由全概率公式得.(2)解：记事件为“任取一箱为甲厂的产品”，事件为“任取一箱为乙厂的产品”，事件为“从中任取一个为废品”，则，且、互斥，由题意得，，，，由全概率公式得.

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