【数学】如何求解矩阵的特征值和特征向量

计算特征多项式：

计算 det ⁡ ( A − λ I ) \det(A - \lambda I) det(A−λI)： A − λ I = ( 4 1 2 3 ) − λ ( 1 0 0 1 ) = ( 4 − λ 1 2 3 − λ ) A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix} A−λI=(42​13​)−λ(10​01​)=(4−λ2​13−λ​) 计算行列式： det ⁡ ( A − λ I ) = ( 4 − λ ) ( 3 − λ ) − 2 ⋅ 1 = λ 2 − 7 λ + 10 \det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 \cdot 1 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 det(A−λI)=(4−λ)(3−λ)−2⋅1=λ2−7λ+10 解特征方程： λ 2 − 7 λ + 10 = 0 \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 λ2−7λ+10=0 解得： λ 1 = 2 , λ 2 = 5 \lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = 5 λ1​=2,λ2​=5

求特征向量：

对 λ 1 = 2 \lambda_1 = 2 λ1​=2，解 A v = 2 v A\mathbf{v} = 2\mathbf{v} Av=2v： ( 4 1 2 3 ) ( x y ) = 2 ( x y ) \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} (42​13​)(xy​)=2(xy​) 得： { 4 x + y = 2 x 2 x + 3 y = 2 y \begin{cases} 4x + y = 2x \\ 2x + 3y = 2y \end{cases} {4x+y=2x2x+3y=2y​ 化简得： { 2 x + y = 0 2 x + y = 0 \begin{cases} 2x + y = 0 \\ 2x + y = 0 \end{cases} {2x+y=02x+y=0​ 取 x = 1 x = 1 x=1，则 y = − 2 y = -2 y=−2，即特征向量为 v 1 = ( 1 − 2 ) \mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} v1​=(1−2​)。

对 λ 2 = 5 \lambda_2 = 5 λ2​=5，解 A v = 5 v A\mathbf{v} = 5\mathbf{v} Av=5v： ( 4 1 2 3 ) ( x y ) = 5 ( x y ) \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 5 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} (42​13​)(xy​)=5(xy​) 得： { 4 x + y = 5 x 2 x + 3 y = 5 y \begin{cases} 4x + y = 5x \\ 2x + 3y = 5y \end{cases} {4x+y=5x2x+3y=5y​ 化简得： { − x + y = 0 2 x − 2 y = 0 \begin{cases} -x + y = 0 \\ 2x - 2y = 0 \end{cases} {−x+y=02x−2y=0​ 取 x = 1 x = 1 x=1，则 y = 1 y = 1 y=1，即特征向量为 v 2 = ( 1 1 ) \mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} v2​=(11​)。