在无穷大的极限

你应该先去看 极限（入门）

我们先看一个有趣的例子。

最简单的答案是：无穷大不是个数，它是个概念。

所以 1 ∞ 就好像 1 美 或 1 高 一样。

我们也许可以说 1 ∞ = 0 …… 但这样也不对，因为如果我们把 1 切开成无穷多的部分而每个部分都是 0，那么整体怎么会是 1 呢？

其实 1 ∞ 是 未定义的。

我们无法计算在无穷大的值（因为得不到合理的答案），我们尝试用越来越大的 x值：

当 x 越来越大时， 1 x 越来越接近 0

这很有意思：

我们想说答案是 "0"，但我们不可以，所以数学家用特定名词 "极限" 来表达这种情形：

当 x 趋近无穷大时， 1 x 的 极限 是 0

写下来是

换句话说：

换句话说： 1 x 趋近 0

当你看到 "极限" 时，想："趋近"

用数学的语言来说："我们不是说在 x=∞，但我们知道当 x 越来越大时，答案便越来越接近 0"。

所以，有时我们不能直接用无穷大，但是我们可以用极限。

当 x 趋近无穷大时，这个函数的极限是什么？

y = 2x

若 "x" 越来越大，"2x" 也越来越大：

所以当 "x" 趋近无穷大时，"2x" 也趋近无穷大。我们这样写：

上面我们分析了两个例子，一个趋近 0，另一个趋近无穷大。

实际上，很多无穷大的极限是很容易求的，只要我们知道函数的 "走势"，像这样

例子： 2x2−5x

如果我们留意函数的 次数 （函数里最高的 指数），我们便可以知道答案：

如果函数的次数是：

但是，如果次数是 0 或未知值，情形便会复杂一点。

根据上面 方程的次数 概念，求极限的第一步是……

……用最高指数的项的系数相除，像这样：

（注意因为次数是相同的，所以最大的指数也是相同的。）

要确定极限是正还是负，我们看有最大指数的项的正负号，好像在上面找系数一样：

例如，这个会趋近正无穷大，因为……

有一个 e （欧拉数） 的公式是基于无穷大和这个公式的：

(1+ 1/n)n

所以我们不求"在"的值，我们尝试用越来越大的 n值：

结果趋近 2.71828...，这就是 e （欧拉数） 的值。

我们又看到这个现象了：

因此，我们用极限来表达答案：

用数学的语言来说："我们不是说当 n=∞，但我们知道当 n 越来越大时，答案便越来越接近 e" 的值。

在图和列列表上我们看到当 n 越来越大时，函数趋近 2.71828……

但如果我们想把无穷大当作一个 "很大的实数" （它不是！），我们会得到：

(1+1/∞)∞ = (1+0)∞ = (1)∞ = 1 （大错特错！）

故事的寓意是：不要把无穷大当作一个实数：你会得到错误的答案！

极限才是正途。

我在这里比较随和地解释了极限，也使用了图和列表来做示范。

但计算极限的值（"求值"）就没有那么简单了，你可以去 极限求值 了解更多。