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🌟 前言 Wassup guys,我是Edison 😎 今天是C语言每日一练,第154天! Let’s get it! 编写用牛顿迭代法求方程根的函数。 方程为
a
x
2
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
ax^2+bx^2+cx+d=0
ax2+bx2+cx+d=0,系数a,b,c,d 由主函数输入。 求
x
x
x 在
1
1
1 附近的一个实根。求出根后,由主函数输出。 牛顿迭代法的公式是:
−
f
(
x
0
)
f
′
(
x
0
)
-\frac{f(x_0 )}{f'(x_0)}
−f′(x0)f(x0) ,设迭代到
∣
x
−
x
0
∣
≤
1
0
−
5
|x-x_0|\leq10^{-5}
∣x−x0∣≤10−5 时结束。 牛顿迭代法是取 x 0 x_0 x0 之后,在这个基础上,找到比 x 0 x_0 x0 更接近的方程的根,一步一步迭代,从而找到更接近方程根的近似根。 设 r r r 是 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0 的根,选取 x 0 x_0 x0 作为 r r r 初始近似值。 过点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0, f(x_0)) (x0,f(x0)) 作为曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 的切线 L L L, L L L 的方程为 y = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ∗ ( x − x 0 ) y=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0) y=f(x0)+f′(x0)∗(x−x0), 求出 L 与 x 轴交点的横坐标 x 1 = x 0 − f ( x 0 ) / f ′ ( x 0 ) x_1=x_0-f(x_0)/f'(x_0) x1=x0−f(x0)/f′(x0),称 x x x 为 r r r 的一次近似值, 过点 ( x 1 , f ( x 1 ) ) (x_1,f(x_1)) (x1,f(x1)) 作为曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 的切线,并求该切线与 x 轴的横坐标 x 2 = x 1 − f ( x 1 ) / f ′ ( x 1 ) x_2=x_1-f(x_1)/f'(x_1) x2=x1−f(x1)/f′(x1),称 x 2 x_2 x2 为 r r r 的二次近似值, 重复以上过程,得 r r r 的近似值 x n x_n xn。 上述过程即为牛顿迭代法的求解过程。 3. 算法设计程序流程分析👇 (1) 在 1 1 1 附近找任一实数作为 x 0 x_0 x0 的初值,我们取 1.5 1.5 1.5,即 x 0 = 1.5 x_0=1.5 x0=1.5 (2) 用初值 x 0 x_0 x0 代入方程中计算此时的 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 及 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0);程序中用变量 f f f 描述方程的值,用 f d fd fd 描述方程求导之后的值。 (3) 计算增量 h = f / f d h=f/fd h=f/fd。 (4) 计算下一个 x : x = x 0 − h x:x=x_0-h x:x=x0−h。 (5) 用新产生的 x x x 替换原来的 x o x_o xo,为下一次迭代做好准备。 (6) 若 ∣ x − x 0 ∣ > = 1 e − 5 |x-x_0|>=1e-5 ∣x−x0∣>=1e−5,则转到第 (3) 步继续执行,否则转到步骤 (7)。 (7) 所求 x x x 就是方程 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 ax3+bx2+cx+d=0 的根,将其输出。 本程序的编写既可用 while,也可用 do...while,二者得到的结果是一样的,只是在赋初值时稍有不同。 while 结构需要先判定条件,即先判断 ∣ x − x 0 ∣ > = 1 e − 5 |x-x_0|>=1e-5 ∣x−x0∣>=1e−5 是否成立,这样对于 x x x, x 0 x_0 x0 我们要在 1 1 1 附近取两个不同的数值作为初值; do...while 结构是先执行一次循环体,得到 x x x 的新值后再进行判定,这样程序开始只需给 x x x 赋初值。 这里我们采用 do...while 结构来实现。 4. 确定程序框架程序的主体结构如下👇
流程图如下所示👇 编写程序时要注意的一点是判定 ∣ x − x 0 ∣ > = 1 e − 5 |x-x_0|>=1e-5 ∣x−x0∣>=1e−5。 从牛顿迭代法的原理可以看出:迭代的实质就是越来越接近方程根的精确值,最初给 x 0 x_0 x0 所赋初值与根的精确值是相差很多了,正是因为这个我们才需要不断地进行迭代,也就是程序中循环体的功能。 在经过一番迭代之后所求得的值之间的差别也越来越小,直到求得的某两个值的差的绝对值在某个范围之内时,便可结束迭代。 若我们把判定条件改为 ∣ x − x 0 ∣ < 1 e − 5 |x-x_0| x0 = x; f = a * x0 * x0 * x0 + b * x0 * x0 + c * x0 + d; fd = 3 * a * x0 * x0 + 2 * b * x0 + c; h = f / fd; x = x0 - h; } while (fabs(x-x0) >= 1e-5); return x; } int main() { float a, b, c, d; float x; printf("请输入方程的系数:"); scanf("%f %f %f %f", &a, &b, &c, &d); x = solution(a, b, c, d); printf("\n"); printf("所求方程的根为:x=%f\n", x); return 0; } 运行结果👇 代码解释👇 |
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