求二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（中）

因为关于二维随机变量主题内容重要，难度大，例题多，最主要是积分区间的确定是难点，同时关联卷积概念，卷积公式容易，积分区间难以确定，因为书上的例题都没有详细解释积分区间如何确定，所以分成上中下三篇博客写。 接本主题（上）。

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

如上所述，如果按照先求概率密度的方法来算一个具体的特定的概率，求概率密度再求分布函数，会比较麻烦，对于一个特定的概率，可以通过画图图解法，看看积分区域在哪里，直接求dxdy的双重积分，也许对于特定概率来说更加方便。

对本题P(X>2Y) ，直接画一个x,y的坐标图，很容易看出来X>2Y的区域在哪里，再结合题目规定的区间 0< x< 1, 0< y< 1, 很容易算出，dxdy的双重积分。 在x,y的坐标系上，直接画一条 Y=12X Y = 1 2 X 的直线，题目要求X>2Y，那么就是Y2Y的区间，其中x限制在0到1，y也限制在0到1 先对Y积分，Y的积分区间就是0到直线Y=X/2；后对X积分，X的积分区间就是常量：0到1 P(X>2Y)=∫∫X>2Yf(x,y)dxdy P ( X > 2 Y ) = ∫ ∫ X > 2 Y f ( x , y ) d x d y =∫10dx∫x20f(x,y)dy = ∫ 0 1 d x ∫ 0 x 2 f ( x , y ) d y =∫10dx∫x20(2−x−y)dy=∫10dx((2−x)y−y22)|2x0 = ∫ 0 1 d x ∫ 0 x 2 ( 2 − x − y ) d y = ∫ 0 1 d x ( ( 2 − x ) y − y 2 2 ) | 0 2 x =∫10(x−58x2)dx=(x22−58∗x33)|10=12−58∗13=724 = ∫ 0 1 ( x − 5 8 x 2 ) d x = ( x 2 2 − 5 8 ∗ x 3 3 ) | 0 1 = 1 2 − 5 8 ∗ 1 3 = 7 24

(2)求Z=X+Y的密度函数 fz(z) f z ( z )

画出x-z坐标，算出两条直线范围， Zmin=X+Ymin =X+0 Zmax=X+Ymax =X+1 加上X的0到1区间范围，就构成积分区间。如图，积分区间就是红色三角块和蓝色三角块。

fZ(z)=∫∞