充分条件与必要条件练习题及答案

1、精选文档例1 已知p: x1, x2是方程x2+ 5x 6= 0的两根，q: x1 + x2= 5，贝U p是q的A 充分但不必要条件B 必要但不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件分析 利用韦达定理转换.解 段仁x2是方程x2 + 5x 6 = 0的两根，/X1, x2的值分别为1, 6,X 1 + x?165 .说明q.但事实上只要取衍二-厶作为反例即可说明这一点.因此选A.说明：判断命题为假命题可以通过举反例.例2 p是q的充要条件的是A . p : 3x + 2 5, q : 2x 3 5B. p : a 2 , b v 2 , q : a bC. p :四边形的两条对角线互

2、相垂直平分，q :四边形是正方形D. p : a丸,q :关于x的方程ax = 1有惟一解分析逐个验证命题是否等价.解对A.p : x1, q:xv 1，所以，p是q的既不充分也不必要条件;对B.P q 但 qp,p是q的充分非必要条件；对C.P丄q 且 q P,p是q的必要非充分条件；对D . pq且qp，即p q, p是q的充要条件.选D .说明：当a = 0时，ax = 0有无数个解.例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充 要条件，则D是A成立的A .充分条件B.必要条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件分析 通过B、C作为桥梁联系A、D .解 TA是B的

3、充分条件， A BD是C成立的必要条件， C DTC是B成立的充要条件， C B由得AC由得AD .D是A成立的必要条件.选 B .说明：要注意利用推出符号的传递性.例4 设命题甲为：0 vx v 5，命题乙为|x 2| v 3,那么甲是乙的A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件分析先解不等式再判定.解解不等式|x 2| v 3得一1 v x v 5 ./0 v xv 5 1 v xv 5 ,但一1 v x v 5-/0 vx v 5甲是乙的充分不必要条件，选A 说明：一般情况下，如果条件甲为x A，条件乙为x B 当且仅当A B时，甲为乙的充分条件；当且

4、仅当A B时，甲为乙的必要条件；当且仅当A = B时，甲为乙的充要条件.例5 设A、B、C三个集合，为使 A、(B U C)，条件A B是A .充分条件B.必要条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件分析 可以结合图形分析.请同学们自己画图.解 丁 AB 而E 匚 U C),A (B U C).但是，当 B= N，C= R，A = Z 时，显然A (B U C)，但A .； B不成立，综上所述：“ AB”二 “ A(B U C)”，而“ A_(B U C) ”一“ A_B”.即“ A、B”是“ A(B U C)”的充分条件(不必要).选A.说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖

5、真实情况.例6 给出下列各组条件：(1) p : ab = 0， q : a2 + b2= 0 ;(2) p : xy 0，q : |x| + |y| = |x + y|;(3) p : m 0， q :方程 x2 x m = 0 有实根；(4)p : |x 1| 2， q : x v 1 .其中p是q的充要条件的有A. 1组 B. 2组C. 3组 D . 4组分析使用方程理论和不等式性质.解(1)p是q的必要条件(2) p是q充要条件(3) p是q的充分条件(4) p是q的必要条件.选A .说明：ab = 0指其中至少有一个为零，而 a2+ b2 = 0指两个都为零.Xj 3 xd x2 6

6、例71 是12的条件.x2 3 x1x2 9分析 将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系.解 x1 3且x2 3 x1 + x26且x1x2 9,但当取 x1 = 10, x2 = 2时,x1 x2 6x1 3成立，而不成立(X2 = 2与X2 3矛盾)，所以填“充分不x1x2 9x2 3必要”.说明:x1 3X2 3x1 3 0x2 3 0(x1 3) + (x 2 3) 0(x1 3)(x2 3) 0x1 + x2 6 这一等价变形方法有时会用得上.x1x2 3(x1 + x2) + 9 0例 8已知真命题ab = c d ”和a v b 二e wf”,贝U c d（原命题）

7、,cwd a v b（逆否命题）.而 a v b e wf,cwd : e wf即c wd是e 0，则ax2 + 2x + 1 = 0至少有一个负实根 :v 02a21 a v 20v aw 1.r2 . av 0,则 ax2 + 2x + 1 = 0至少有一个负实根一4a v 02a2 2 1 a 21 a 1 av 0.综上所述a w1.即ax2 + 2x + 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是a w1.说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法.例10 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件, 那么s, r, p分别是q的什么条件？分析画出关系图1 21，观察

8、求解. 1-21可编辑解 s是q的充要条件；(sr: q , qs)r是q的充要条件；(r q , q : s r)p是q的必要条件；(q s r： p)说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系.例11 关于x的不等式|x (a 1)2|(a 1)22与x2 3(a+ 1)x + 2(3a+ 1) 0的解集依次为A与B，问“ A B ”是“ 1W a 3或a= 1”的充要条件吗?分析 化简A和B，结合数轴，构造不等式(组)，求出a.解 A = x|2a wx a2+ 1，B = x|(x 2)x (3a + 1) O1当2 w 3a+ 1即a时，3B = x|2 wx

9、2AB 21 w a 3a+ 1 即 a 3a+1A B 2a= 1.a +1 w 2综上所述：A Ba= 1或1w aw 3.“ A B ”是“ 1w aw 3或a= 1”的充要条件.说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关在解题时要 理清思路，表达准确，推理无误.1 1例12 x y, xy 0是一 V 的必要条件还是充分条件，还是充x y要条件？分析将充要条件和不等式同解变形相联系.解1 .当一 V丄时，可得 -V 0即V 0y xV 0 xy 0,x yx yxyy x 0或xyV 0即xV y或xy xyV 0 xy0,11,xV y故一 V -不能推得xy且xy0（有

10、可能得到，即xy且xy1 1 0并非-V -的必要条件.x yxy xy2 .当xy且xy0则分成两种情况讨论：x0或xV 0y0 yV 01 1不论哪一种情况均可化为 V -.x y1 1xy且xy 0是 V 的充分条件.x y说明：分类讨论要做到不重不漏.例13 设a, B是方程x2 ax + b = 0的两个实根，试分析a 2且b 1是两根a，3均大于1的什么条件?分析把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要搞清楚条件p与结论q分别指什么.然后再验证是 p q还是q p还是 p q.解据韦达定理得：a=a + B, b=aB，判定的条件是P：b1a 1t2结论是q:b（还要注意条件p中，a, b需要满足大前提厶=a 4b 0）a 1（1）由得 a=a + B 2, b=a 1,B 1q p -対了证明可以举出反例，取P二 它满足芨二CL + P = 4+2P b=aB=4.斗=21,但 q 不成立.上述讨论可知：a 2 , b 1是a1, 31的必要但不充分条件.说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用.例14（1991年全国高考题）设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要