5.7 函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质

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\((1)\)简谐运动可用函数\(y=A \sin (\omega x+\varphi)\)，\(x∈[0,+∞)\)表示， \(A\)是振幅，周期\(T=\dfrac{2 \pi}{\omega}\)，频率\(f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{\omega}{2 \pi}\)，相位\(ωx+φ\)，初相\(φ\).  

\((2)\) \(A,ω,φ\)对\(f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)\)的影响 \(A\)影响函数\(y=f(x)\)的最值，\(ω\)影响周期，\(φ\)影响函数水平位置.

①\(y=f(x) \rightarrow y=f(x \pm a)(a>0)\)将\(y=f(x)\)图像沿\(x\)轴向左(右)平移\(a\)个单位(左加右减)； ②\(y=f(x) \rightarrow y=f(x) \pm b(b>0)\)将\(y=f(x)\)图像沿\(x\)轴向上(下)平移\(b\)个单位(上加下减). 注 \(f(x)=3 \sin \left(2 x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)向左平移\(\dfrac{\pi}{4}\)个单位，得到的函数不是\(f(x)=3 \sin \left(2 x+\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{3}\right)\)， 而是\(f(x)=3 \sin \left[2\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+\dfrac{\pi}{3}\right]\).  

① \(y=f(x)⟶ y=A f(x)(A>0)\) 将\(y=f(x)\)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的\(A\)倍(\(A>1\)伸长，\(A0)\) 将\(y=f(x)\)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的\(\dfrac{1}{\omega}\)倍(\(ω>1\)缩短，\(ω0, \omega>0)\)的图象上的点的横坐标缩短为原来的\(\dfrac{1}{2}\)倍，再向右平移\(\dfrac{\pi}{3}\)个单位得到函数\(g(x)=2 \cos (2 x+\varphi)\)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．函数\(f(x)\)的最小正周期为\(π\) B．函数\(f(x)\)的单调递增区间为\(\left[2 k \pi-\dfrac{2 \pi}{3}, 2 k \pi+\dfrac{\pi}{3}\right](k \in Z)\) C．函数\(f(x)\)的图象有一条对称轴为\(x=\dfrac{2 \pi}{3}\) D．函数\(f(x)\)的图象有一个对称中心为\(\left(\dfrac{2 \pi}{3}, 0\right)\) 【解析】函数\(f(x)=A \sin \left(\omega x+\dfrac{\pi}{6}\right)\)\((A>0, \omega>0)\)的图象上的点的横坐标缩短为原来的\(\dfrac{1}{2}\)倍，再向右平移\(\dfrac{\pi}{3}\)个单位得到\(f(x)=A \sin \left[2 \omega\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+\dfrac{\pi}{6}\right]\)\(=A \sin \left(2 \omega x+\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{2 \pi \omega}{3}\right)\)的图象． 与\(g(x)=2 \cos (2 x+\varphi)=2 \sin \left(2 x+\varphi+\dfrac{\pi}{2}\right)\)比较 \({\color{Red}{(利用诱导公式转化同函数名) }}\) 又由于\(A>0\)，\(ω>0\)，所以\(A=2\)，\(ω=1\)． 所以\(f(x)=2 \sin \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)\) 故函数\(f(x)\)的周期为\(2π\)，\(A\)错误； 令\(2 k \pi-\dfrac{\pi}{2} \leq x+\dfrac{\pi}{6} \leq 2 k \pi+\dfrac{\pi}{2}, k \in Z\)， 解得\(2 k \pi-\dfrac{2 \pi}{3} \leq x \leq 2 k \pi+\dfrac{\pi}{3}, k \in Z\)， 所以函数\(f(x)\)单调递增区间为\(\left[2 k \pi-\dfrac{2 \pi}{3}, 2 k \pi+\dfrac{\pi}{3}\right](k \in Z)\)，故\(B\)正确； 由于\(f\left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)=2 \sin \dfrac{5 \pi}{6}=1\)， 则\(f\left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)\)取不到最值， \(\therefore x=\dfrac{2 \pi}{3}\)不是对称轴， \(\because f\left(\dfrac{2 \pi}{3}\right) \neq 0\)，\(\therefore\left(\dfrac{2 \pi}{3}, 0\right)\)不是对称中心，即\(C\)，\(D\)错误． 故选：\(B\)．  

1(★)将函数\(y=\cos x\)的图象先左移\(\dfrac{\pi}{4}\)，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的\(\dfrac{1}{2}\)，所得图象的解析式为(　　) A．\(y=\sin \left(2 x+\dfrac{\pi}{4}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B．\(y=\sin \left(\dfrac{1}{2} x+\dfrac{3 \pi}{4}\right)\) C．\(y=\sin \left(\dfrac{1}{2} x+\dfrac{\pi}{4}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(y=\sin \left(2 x+\dfrac{3 \pi}{4}\right)\)  

2(★)将函数\(f(x)=3 \sin \left(\dfrac{1}{2} x-\varphi\right)\)\(\left(|\varphi|0,|\varphi|0, \omega>0)\)的图象上的点的横坐标缩短为原来的\(\dfrac{1}{2}\)倍，再向右平移\(\dfrac{\pi}{3}\)个单位得到函数\(g(x)=2\cos(2x+φ)\)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．函数\(f(x)\)的最小正周期为\(π\) B．函数\(f(x)\)的单调递增区间为\(\left[2 k \pi-\dfrac{2 \pi}{3}, 2 k \pi+\dfrac{\pi}{3}\right](k \in Z)\) C．函数\(f(x)\)的图象有一条对称轴为\(x=\dfrac{2 \pi}{3}\) D．函数\(f(x)\)的图象有一个对称中心为\(\left(\dfrac{2 \pi}{3}, 0\right)\)  

【典题1】 已知函数\(f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)\)\(\left(A>0, \omega>0,00,00 \\ -\dfrac{\pi}{2 \omega} \leq-\dfrac{\pi}{2} \\ \dfrac{\pi}{2 \omega} \geq \dfrac{2 \pi}{3} \end{array}\right.\)，解得\(0