大学普通物理公式

2023-12-17 02:41| 来源: 网络整理| 查看: 265

热学热力学第零定律气体分子动理论理想气体状态方程压强理想气体压强公式大气压强压强与密度的关系气体分子自由度气体分子的三种速率气体的能量气体分子的能量理想气体的内能分子平均自由程范德瓦尔斯方程例题理想气体的内能功热量热力学第一定律气体的热容摩尔热容摩尔定容热容理想气体摩尔定容热容摩尔等压热容理想气体摩尔定压热容比热比迈耶公式等温过程绝热过程绝热过程方程理想气体等值和绝热过程公式表循环过程正循环热机逆循环制冷机循环的特点热机效率制冷系数奥托循环卡诺循环卡诺逆循环卡诺定理热力学第二定律熵理想气体经历可逆过程的熵的变化玻尔兹曼关系理想气体自由膨胀中的熵增热学热力学第零定律如果两个系统分别与第三个系统的同一状态处于热平衡，则它们彼此也必定处于热平衡气体分子动理论理想气体状态方程

$pV = \frac{M}{M_{mol}}RT = \nu RT$

$p = nkT$

普适气体常量： $R = \frac{p_0 V_{mol}}{T_0} = 8.31 \frac{J}{mol K}$

描述 $1mol$ 气体行为的普适常量

玻尔兹曼常量： $k = \frac{R}{N_A} = 1.38 \times 10^{-23} J/K$

描述一个分子或一个粒子行为的普适常量

气体分子数密度： $n = \frac{N}{V}$

为单位体积气体内分子数

Loschmidt 数：标况下 $1m^3$ 体积中气体分子数:

$n = \frac{p}{kT} = \frac{1.013 \times 10^5}{1.38 \times 10^{-23} \times 273.15} = 2.6876 \times 10^{25}$ 压强理想气体压强公式

$p = \frac{2}{3}n \overline{e_k}$

大气压强 $1atm = 1.013 \times 10^5 pa = 76 cmHg = 760 mmHg$ 压强与密度的关系

$\rho = \frac{pM}{RT}$

推导过程：

$\begin{aligned} pV = \nu RT &\Rightarrow p = \frac{\nu}{V} RT \\\\ &\Rightarrow p = \frac{\frac{m}{M}}{V} RT \\\\ &\Rightarrow p = \frac{m}{V} \frac{RT}{M} \\\\ &\Rightarrow p = \rho \frac{RT}{M} \\\\ &\Rightarrow \rho = \frac{pM}{RT} \end{aligned}$

气体分子自由度分子种类平动自由度 $t$ 转动自由度 $r$ 总自由度 $i=t+r$ 单原子分子 3 0 3 刚性双原子分子 3 2 5 刚性多原子分子 3 3 6 气体分子的三种速率方均根速率： $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{M_{mol}}} \approx 1.73\sqrt{\frac{RT}{M_{mol}}}$

计算分子平均平动动能

最可几速率： $v_p = \sqrt{\frac{2kT}{m}} = \sqrt{\frac{2RT}{M_{mol}}} \approx 1.41\sqrt{\frac{RT}{M_{mol}}}$

讨论分子速率分布

平均速率： $\overline{v} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{mol}}} \approx 1.60\sqrt{\frac{RT}{M_{mol}}}$

计算分子运动的平均自由程

$M_{mol}$ 单位： $kg/mol$

$v_{rms} \overline{v} v_p$

气体的能量气体分子的能量

理想气体分子的平均平动动能： $\begin{cases} p = \frac{2}{3} n \overline{e_k} \\\\ p = nkT \\\\ \overline{e_k} = \frac{1}{2} m \overline{v^2} \end{cases} \Rightarrow \frac{1}{2} m \overline{v^2} = \frac{3}{2}kT$

气体分子平均总动能： $\overline{e_k} = \frac{1}{2} (t + r + s)kT$

单原子分子： $\overline{e_k} = \frac{3}{2}kT$

刚性双原子分子： $\overline{e_k} = \frac{5}{2}kT$

刚性多原子分子： $\overline{e_k} = 3kT$

气体分子平均总能量： $\overline{e_k} = \frac{1}{2} (t + r + 2s)kT$

谐振子在一个周期内的平均动能和平均势能是相等的

$s$ ：振动自由度理想气体的内能

$U = \frac{1}{2} \nu (t + r + 2s)RT$

分子平均自由程 $\overline{z}$ ：平均碰撞次数/频率

$\overline{z} = \sqrt{2} n \pi d^2 \overline{v}$

$n$ ：单位体积内气体分子数

$d$ ：分子直径

$\overline{\lambda}$ ：平均自由程

$\begin{cases} \overline{\lambda} = \frac{\overline{v}}{\overline{z}} \\\\ \overline{z} = \sqrt{2} n \pi d^2 \overline{v} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \overline{\lambda} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n} \\\\ p = nkT \end{cases} \Rightarrow \overline{\lambda} = \frac{kT}{\sqrt{2} \pi d^2 p}$ 范德瓦尔斯方程

$1mol$ 气体的范德瓦尔斯方程： $(p + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$

对于质量为 $M$ 的气体的范德瓦尔斯方程： $(p + \frac{M^2}{M_{mol}^2} \frac{a}{V^2})(V - \frac{M}{M_{mol}}b) = \frac{M}{M_{mol}}RT$

例题

由范德瓦尔斯方程 $(p + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$ ，证明气体在临界状态下的温度 $T_C$ 及压强 $p_C$ 以及体积 $V_C$ 为

$T_C = \frac{8a}{27bR}, p_C = \frac{a}{27b^2}, V_C = 3b$

（提示：由范德瓦尔斯方程写出 $V$ 的三次方程，对于临界点，以 $T_C$ ， $p_C$ 代入对 $V$ 求解，应得 $V$ 的三重解）

解：

$(p + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$

方程两边同时乘以 $V^2$ 得

$(pV^2 + a)(V - b) = V^2 RT$

$\begin{cases} V^3 - (\frac{pb+RT}{p}) V^2 + \frac{a}{p} V - \frac{ab}{p} = 0 \\\\ (V - V_C)^3 \equiv 0 \Rightarrow V^3 - 3V_C V^2 + 3V_C V - V_C \equiv 0 \end{cases}$

有重根： $V_{C_1} = V_{C_2} = V_{C_3} = V_C$

对应系数相等： $\begin{cases} 3V_C = \frac{pb + RT}{p} \\\\ 3{V_C}^2 = \frac{a}{p} \\\\ {V_C}^3 = \frac{ab}{p} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} V_C = 3b \\\\ P_C = \frac{a}{27b^2} \\\\ T_C = \frac{8a}{27bR} \end{cases}$

理想气体的内能 $E = \frac{M}{\mu} \frac{i}{2} RT$ 功 $W = \int^{V_f}_{V_i} pdV$ 热量 $Q = \int dQ = \int^{T_2}_{T_1} \frac{M}{\mu}C_mdT$ 热力学第一定律外界对系统传递的热量，一部分是使系统的内能增加，另一部分是用于系统对外做功

$Q = E_2 - E_1 + W$

在任何一个热力学过程中，系统所吸收的热量 $Q$ 等于系统内能的增量 $E_2 - E_1$ 与系统对外做功

微分形式

$dQ = dE + dW = dE + pdV$ 气体的热容摩尔热容 1 mol 物质，温度升高 1K 所吸收的热量

$C_m = \frac{\triangle Q}{\triangle T}$ 摩尔定容热容 1 mol 气体在体积不变的条件下，温度改变 1K 或（1°C）所吸收或放出的热量，用 $C_{V, m}$ 表示

$C_{V, m} = \frac{\triangle U}{\triangle T}$

$E_2 - E_1 = C_{V, m} \triangle T$ 理想气体摩尔定容热容

$\begin{aligned} dE &= \delta Q_V \\\\ dE &= \frac{m}{M} C_{V, m} dT \\\\ \frac{m}{M} \frac{i}{2} RdT &= \frac{m}{M} C_{V, m} dT \\\\ C_{V, m} &= \frac{i}{2}R \end{aligned}$

摩尔等压热容 1 mol 气体在压强不变的条件下，温度改变 1K 所需要的热量，用 $C_{p, m}$ 表示

$C_{p, m} = \frac{\triangle Q}{\triangle T}$

$\triangle Q = C_{p, m} \triangle T$ 理想气体摩尔定压热容

$\begin{aligned} \frac{m}{M}C_{p, m}dT = \delta Q_p &= dE + dW = dE + pdV = dE + \frac{m}{M} RdT \\\\ \frac{m}{M} C_{p, m} (T_2 - T_1) = Q_p &= E_2 - E_1 + \frac{m}{M} R(T_2 - T_1) \\\\ \frac{m}{M} C_{p, m} (T_2 - T_1) &= \frac{m}{M} C_{V, m}(T_2 - T_1) + \frac{m}{M}R(T_2 - T_1) \\\\ C_{p, m} &= C_{V, m} + R \\\\ C_{p, m} &= \frac{i + 2}{i}R \end{aligned}$

比热比 $\gamma = \frac{C_{p, m}}{C_{V, m}}$

理想气体的比热比（摩尔热容比）： $\gamma = \frac{i + 2}{i}$ 单原子： $\gamma = 1.67$ 刚性双原子： $\gamma = 1.40$ 刚性多原子： $\gamma = 1.33$ 迈耶公式 $C_{p, m} = C_{V, m} + R$ 等温过程特点： $dE$ = 0

$\begin{aligned} Q_T &= A = \int_{V_1}^{V_2} pdV \\\\ &= \int_{V_1}^{V_2} \frac{p_1 V_1}{V} dV \\\\ &= p_1 V_1 \ln \frac{V_2}{V_1} = p_1 V_1 \ln \frac{p_1}{p_2} \\\\ &= \nu RT \ln \frac{V_2}{V_1} = \nu RT \ln \frac{p_1}{p_2} \end{aligned}$

绝热过程特点： $\delta Q = 0$

$dE + pdV = 0$

$\begin{cases} \delta W = pdV = -dE \\\\ W = -(E_2 - E_1) = -\frac{m}{M}C_{V, m}(T_2 - T_1) \end{cases}$

绝热过程方程 $\begin{cases} pV^\gamma = C \\ TV^{\gamma - 1} = C\\ p^{\gamma - 1} T^{-\gamma} = C \end{cases}$

式中 $\gamma$ 为比热比理想气体等值和绝热过程公式表准静态过程特征过程方程功 $W$ 热量 $Q$ 内能增量 $\triangle U$ 摩尔热容 $C_m$ 等容过程 $V = C$ $\frac{p}{T} = C$ 0 $\nu C_{V, m}(T_2 - T_1)$ $\nu C_{V, m}(T_2 - T_1)$ $C_{V, m}$ 等压过程 $p = C$ $\frac{V}{T} = C$ $p(v_2 - v_1)$ 或 $\nu R(T_2 - T_1)$ $\nu C_{p, m}(T_2 - T_1)$ $\nu C_{V, m}(T_2 - T_1)$ $C_{p, m} = C_{V, m} + R$ 等温过程 $T = C$ $pV = C$ $\nu RT \ln \frac{V_2}{V_1}$ 或 $\nu RT \ln \frac{P_2}{P_1}$ $\nu RT \ln \frac{V_2}{V_1}$ 或 $\nu RT \ln \frac{P_2}{P_1}$ 0 ∞ 绝热过程 $\delta Q = 0$ $pV^\gamma = C$ $TV^{\gamma - 1} = C$ $p^{\gamma - 1} T^{-\gamma} = C$ $-\nu C_{V, m}(T_2 - T_1)$ 0 $\nu C_{V, m}(T_2 - T_1)$ 0 循环过程正循环顺时针方向闭合曲线热机作正循环的设备称为热机逆循环逆时针方向闭合曲线制冷机作逆循环的设备称为制冷机循环的特点系统经历一个循环后内能不变

$\triangle E = 0, Q = W$

系统吸收（或放出）的净热量等于系统对外做的净功（或外界对系统做的净功）热机效率

工质从高温热源吸取热量 $Q_1$ ，其中一部分热量 $Q_2$ 传给低温热源，同时工质对外做功 $W$

$\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$ 制冷系数

工质从低温热源吸取热量 $Q_2$ ，接受外界对工质所做的功 $W$ ，向高温热源传递热量 $Q_1 = W + Q_2$

$\omega = \frac{Q_2}{W} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2}$ 奥托循环

$\begin{aligned} 爆炸等容过程吸热 \\ Q_1 &= \frac{m}{M} C_{V, m} (T_d - T_c) \\\\ 排气等容过程放热 \\ Q_2 &= \frac{m}{M} C_{V, m} (T_e - T_b) \\\\ \eta &= 1 - \frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{T_e - T_b}{T_d - T_c} \\\\ T_e V^{\gamma - 1} &= T_d V^{\gamma - 1}，T_b V^{\gamma - 1} = T_3 V^{\gamma - 1}_0 \\\\ \frac{T_e - T_b}{T_d - T_c} &= (\frac{V_0}{V})^{\gamma - 1} \\\\ \eta &= 1 - \frac{1}{(\frac{V}{V_0})^{\gamma - 1}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma - 1}} \end{aligned}$

卡诺循环在两个温度恒定的热源（一个高温热源，一个低温热源）之间工作

由两个准静态的等温过程和两个准静态的绝热过程组成

$\begin{aligned} 从高温热源吸取热量 \\ Q_1 &= \frac{m}{M} RT_1 \ln \frac{V_2}{V_1} \\\\ 向低温热源放出热量 \\ Q_2 &= \frac{m}{M} RT_2 \ln \frac{V_3}{V_4} \\\\ 应用绝热过程方程 \\ T_1 V_2^{\gamma - 1} &= T_2 V_3^{\gamma - 1}, T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_4^{\gamma - 1} \\\\ (\frac{V_2}{V_1})^{\gamma - 1} &= (\frac{V_3}{V_4})^{\gamma - 1}, \frac{V_2}{V_1} = \frac{V_3}{V_4} \\\\ Q_2 &= \frac{m}{M} RT_2 \ln \frac{V_3}{V_4} = \frac{m}{M} RT_2 \ln \frac{V_2}{V_1} \\\\ \frac{Q_1}{T_1} &= \frac{Q_2}{T_2} \\\\ \eta_C &= 1 - \frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1} \end{aligned}$

卡诺逆循环制冷系数： $\omega_C = \frac{Q_2}{W} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2} = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$ 卡诺定理在同样高低温热源（高温热源的温度为 $T_1$ ，低温热源的温度为 $T_2$ ）之间工作的一切可逆热机，无论用什么工作物，效率都等于 $(1 - \frac{T_2}{T_1})$

在同样高低温热源之间工作的一切不可逆机的效率，不可能高于（实际上是小于）可逆机，即 $\eta \leqslant 1 - \frac{T_2}{T_1}$ 热力学第二定律开尔文表述：不可能制成一种循环动作的热机，只从一个热源吸取热量，使之完全变为有用的功，而不产生其他影响

克劳修斯表述：热量不可能自动地从低温物体传向高温物体

例：试证在 $p-V$ 图上两条绝热线不能相交

假定两条绝热线 $I$ 与 $II$ 在 $p-V$ 图上相交于一点A. 现在，在图上再画一条等温线 $III$ ，使它与两条绝热线组成一个循环. 这个循环只有一个单热源，它把吸收的热量全部转化为功即 $\eta = 100\%$ ，并使周围没有变化显然，这是违反热力学第二定律的，因此两条绝热线不能相交

熵 $\delta S = (\frac{\delta Q}{T})_{可逆}$ 与路径无关，只与初末状态有关

可逆循环中熵变为 0 $\oint \frac{dQ_r}{T} = 0$

绝热过程等熵理想气体经历可逆过程的熵的变化 $\triangle S = \int^f_idS = \int^f_i \frac{dQ_r}{T} = \nu C_{V, m} \ln \frac{T_f}{T_i} + \nu R \ln \frac{V_f}{V_i}$

推导：

$\begin{aligned} dQ_r &= dU + dW = dU + pdV \\\\ dQ_r &= \nu C_{V, m} dT + \nu RT \frac{dV}{V} \\\\ dS &= \frac{dQ_r}{T} = \nu C_{V, m} \frac{dT}{T} + \nu R \frac{dV}{V} \end{aligned}$

玻尔兹曼关系 $S = k \ln W$

k：玻尔兹曼常量， $k = 8.31 \frac{J}{mol K}$

W：系统宏观状态所包含的微观状态数理想气体自由膨胀中的熵增 $\triangle S = \nu R \ln \frac{V_2}{V_1}$

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