高次方程？我就要解！（内含大量实用技巧）

送给那些喜欢硬解高次方程的高中生们( • ̀ω•́ )✧

        说到方程，如果是小学生，那可能就是△，□，○这种的；如果是初中生，那应该能见到√2x²+x-4/3=0这种二次方程；若是高中生，log7底x+x⁴+cotx=e这类鬼畜方程也有可能见到。然而，用不了多久你就会发现，不是所有的方程都叫二次方程，不是所有的方程解的出来。而看了这篇文章，相信你可以解决不少难题了！

        在高中，从函数这一章开始，就会时不时出现一些高次方程。尤其是面对解析几何和圆锥曲线的混合双打，不少同学选不对方法就会出现x⁴-7x³+2x²-7x+1=0这样的高次方程，难道这样的方程真的就无解吗？难道只能用二分法求近似解吗？

        看到这有人可能就觉得，切不就是一个四次方程嘛？我上百度一查就有求根公式，然后我只要代入数据慢慢算就可以了。如果你有这样的想法，我只能说你太天真了，首先不说你嫌不嫌计算复杂，就算你算对了，想必地球已经绕太阳好几圈了。更不要说，你还要背这种玩意：

（来源：百度百科）

        虽然解四次方程还有其他好记一点的方法，但是绝对简单不到哪去。我相信大多数人还是不想背这种东西的，所以，接下来我将传授同学们几招，可以有效减少计算量。

一、蒙根降次法

        1、先猜根

       方程不会解，但是答案可以猜啊！有时候遇到的方程，可能系数并不会很复杂，或者可以利用小题之间的关联猜出其中某个解。例如：x³+2x²-x-2=0，稍微观察一下，我们可以直接看出x=1是它的一个解（这要是看不出来真没办法了），这样就首先做出一个解了。

        有时候可能不容易猜到这个根，这里我只讲我认为比较可靠的一种方法。一般来说，如果题目不是太坑爹的话（如果你列的方程是对的话），方程的解不会太复杂，而且往往是由最高次项的系数的因数和常数项的因数组成的分数。什么意思呢？还是举个栗子，如果是6x⁴+x³+5x-3=0，那么就把6和-3拿出来，6的因数是±1，±2，±3，3的因数是±1，±3，猜根的时候优先从这两组数里各挑一个作为分子和分母组成一个分数，把这个分数代入，往往就是想要的解了，对于这个方程，1/2就是它的一个解。

        2、后降次

        几次方程就有几个解，你不一定能把所有的解都猜出来，而事实上你也不需要全部猜出来。假设一个n次方程有n个根：x_1，x_2，……x_n，那么这个方程一定可化为(x-x_1)(x-x_2)……(x-x_n)=0，如果你猜出了其中一个，那就可以把这一项因式消去，这样一来原方程的次数就降低了一次，直到这个方程退化为二次方程，就可以套公式解出剩下的根了。例如x³-6x²+11x-6=0，容易看出（真的很容易）x=1是它的一个解，那么我们就用x³-6x²+11x-6去除x-1，得到的结果是x²-5x+6=0，进而得到余下的两个根分别是2和3。

        说到这里，可能有些同学又觉得这个多项式相除不会算，没关系，你可以利用配方法辅助运算。就那刚刚的方程来说，x³-6x²+11x-6=(x³-3x²+3x-1)-3(x²-2x+1)+2(x-1)，=(x-1)³-3(x-1)²+2(x-1)，再去除x-1，就会简单很多。

        为了节省时间，也可以选择“长除法”解决。关于长除法，我只做演示，不再细讲，有兴趣的同学可以自行上百度了解，也是很有帮助的。

二、四次方程：花样换元法

        部分四次方程可以通过换元巧妙解决问题，虽然换元的方法多种多样，但核心思路都是把四次方程降次关于新元的二次方程。本文我介绍两种比较难想到的换元思路。

        1、(x+m)⁴+(x+n)⁴=c型

        第一步，令λ=x+(m+n)/2，μ=(m-n)/2则原式可化为(λ+μ)⁴+(λ-μ)⁴=c，μ是常数，需要解出λ。化简成这样的形式是为了展开后没有一次和三次项。把这个式子展开，可以得到2λ⁴+12λ²μ²+2μ⁴=c。

        第二步，设t=λ²，化简得到2t²+12μ²t+2μ⁴-c=0，μ是常数，所以这是一个关于t的二次方程，套公式解出t，进而解出λ，最后解出x。

        这种形式的方程还是很常见的 ，用这种解法计算量不大，计算时尤其要考虑复数解。类似的还有(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=m的方程也可以解。

        2、ax⁴+bx³+cx²+bx+a=0型

        这种其实也就是当d=b且e=a时的样子。显然x=0时等式不成立，所以x≠0，对两边同除以x²，并化简得到：a(x²+1/x²)+b(x+1/x)+c=0

        很经典的换元方式：设t=x+1/x，则x²+1/x²=t²-2，所以原式可化为a(t²-2)+bt+c=0，还是二次方程，套公式解出t，进而解出x，别忘了复数解。还记得开头提到的那个方程吗？你可以拿它一个去试试手。

         这种方法也可以推广到更高次的方程中，但是比较少见。 

三次方程：公式硬解法

        四次方程的公式记不住，三次方程的可以记（而且接下来我分享的这个方法即好记又好算），结合前面两类解法，就可以解决绝大多数高次方程了。

        1、配方

        对于一般的三次方程ax³+bx²+cx+d=0，利用(ax+t)³= ax³+3a²x²t+3axt²+t³，类似二次方程的配方法，我们总可以把它配成(x+t)³+p(x+t)+q=0的形式，为了好看，可以设y=x+t，就有y³+py+q=0。

        2、拆元

        如果我们设y=u+v，那么u和v应该有无数组解，我们就可以选择其中一组解，方便接下来的化简和运算。代入并打开括号：u³+3u²v+3uv²+v³+pu+pv+q=0，这样看不出来什么，那就再提取公因式：u³+v³+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0，进一步提取公因式：u³+v³+q+(u+v)(3uv+p)=0，如果我们令①u³+v³=-q，②3uv=-p（也就是u³v³=-p³/27），恰好可以使等式成立，并且如果把u³，v³分别当成一个整体的话这个方程组也很容易解出。这样一来得到的u、v加起来便是y，进而解出x。

        这里有一个小技巧就是你不需要把u，v的三组解全部找到，只需要算出最容易的那一组即可，原因下一步你就清楚了。

        3、补解

        在第二步拆元的时候，如果我们找到了一组解是

u_1、v_1，那么第二组解u_2=ω²u_1，v_2=ωv_1，第三组解u_3=ωu_1，v_3=ω²v_1。其中，ω=-1/2+√3/2（学了欧拉公式之后就会知道这相当于e^⅔iπ，用这个来证明会更简单）。至于原因，你把它带回原式就可以证明了。最后，写出三个解即可。

        勇敢高中生不怕解方程。学会了就赶快去试一下，做完后别忘了回来留下你的三连！！！