定积分求含无穷大的式子的和

根据定积分的概念，可以得出

∫ a b f ( x ) d x = lim ⁡ n → + ∞ 1 n ∑ i = 1 n f ( a + b − a n i ) \int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac 1n\sum\limits_{i=1}^{n}f(a+\dfrac{b-a}{n}i) ∫ab​f(x)dx=n→+∞lim​n1​i=1∑n​f(a+nb−a​i)

那么，对于部分形如

lim ⁡ n → + ∞ 1 n ∑ i = 1 n a i \lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac 1n\sum\limits_{i=1}^na_i n→+∞lim​n1​i=1∑n​ai​

这类式子，就可以用定积分来求了。

计算 lim ⁡ n → + ∞ ( n n 2 + 1 + n n 2 + 2 2 + ⋯ + n n 2 + n 2 ) \lim\limits_{n\to+\infty}(\dfrac{n}{n^2+1}+\dfrac{n}{n^2+2^2}+\cdots+\dfrac{n}{n^2+n^2}) n→+∞lim​(n2+1n​+n2+22n​+⋯+n2+n2n​)

解： \qquad 原式 = lim ⁡ n → + ∞ 1 n ∑ i = 1 n 1 1 + ( i n ) 2 = ∫ 0 1 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ x ∣ 0 1 = π 4 =\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac 1n\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{1+(\frac in)^2}=\int_0^1\dfrac{1}{1+x^2}dx=\arctan x\bigg\vert_0^1=\dfrac{\pi}{4} =n→+∞lim​n1​i=1∑n​1+(ni​)21​=∫01​1+x21​dx=arctanx ​01​=4π​