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#本文讨论的是纯空间上的几何,而不是物理上的时空!推荐视频《维度:数学漫步》对四维空间作初步了解 研究四维空间中的正多胞体的基本方法还是类比:所以你恐怕得先对我们三维中的正多面体有点了解(可参看Matrix67对正多面体的介绍)。 正多胞体一共有六个:单形(正五胞体)、超立方体(正八胞体)、正十六胞体、正二十四胞体、正一百二十胞体、正六百胞体。影片中只展现了它们的投影图(平行投影和球极投影)和一些基本几何信息,我们今天来看看它们具体是怎样构成的。其中除了正二十四胞体以外其他五种正多胞体我们都能找到三维类比——它们分别是正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。 ![]() 网站 www.software3d.com 上的120号模型 by Robert Webb 特色内容 16号、24号的类比过程 超球最密堆积问题 120号的分层结构 镶嵌 本文目录: 单形(正五胞体) 正十六胞体 正二十四胞体 最密堆积问题 正一百二十胞体 正六百胞体 镶嵌 单形(正五胞体)《维度》第三集中讲的第一个四维几何体就是单形(Simplex)。虽然影片中的类比很合理,但我们要知道为上么这样类比是对的——随便画五个点连起来就是单形?为了好理解,我们从0维开始: 0维——一个点(0-单形); 1维:这个点和它外面一点连线,得到一条线段(1-单形); 2维:这条线段和它外面一点连线,得到一个三角形,其中这个三角形底边为原线段,另外两条边分别由外面一点与原线段端点连线所得(2-单形); 3维:这个三角形和它外面一点连线,得到一个四面体,其中这个四面体底面为原三角形,另外三个面分别由外面一点与原三角形三边组成三角形所得(3-单形); 4维:这个四面体和它外面一点连线,得到一个五胞体,其中这个五胞体底胞为原四面体,另外四个胞分别由外面一点与原四面体四面组成四面体所得(4-单形); 5维:这个五胞体和它外面一点连线,得到一个“六超胞体”…… ……对超立方体网上的解释太多了,且它是最容易理解的,我就没必要再讲了。 正十六胞体 奇怪的是《维度》视频里讲完超立方体就把正十六胞体跳过直接讲正二十四胞体了,其实正十六胞体也很精彩。 这是《维度》影片中讲述者最喜爱的图形,影片中说它没有三维类比其实是不对的。它有一个三维类比——菱形十二面体。和搞清正十六胞体的步骤一样,我们要先清楚了解菱形十二面体。 可能之前很多人都没听说过菱形十二面体,现在我们从大家最熟悉的正方体开始来讲一讲它的形成过程。 我们现在观察一下:新得到的菱形十二面体一共有两类顶点:原来正方体8个顶点(每点发出3条棱)+面心“拉出”的6个顶点(每点发出4条棱),菱形十二面体的每个菱形面都是相邻两个三角形面共面形成,所以一个菱形面对应原正方体的一条棱,正方体刚好12条棱,所以我们也有12个菱形。而原来的正方形的棱都已经不复存在——它们已经变成菱形里面的对角线了,不再是图形的边界。 下面该到四维里了: 超立方体有16个顶点,八个胞。我们设想抓住这八个立方体胞的体心处往外拉,把每个胞都拉得像立方体锥: 这样继续往外扩展,直到相邻两个四棱锥共胞,它们构成一个八面体(两个倒扣着的四棱锥组成一个)。我们现在观察一下:新得到的多胞体一共有两类顶点:原来超立方体16个顶点(每点发出4条棱)+胞心“拉出”的8个顶点(每点发出4条棱),这个多胞体的每个八面体都是相邻两个四棱锥共胞形成,所以一个八面体胞对应原超立方体的一个二维正方形面,超立方体刚好24个二维面,所以我们也有24个八面体。而原来的超立方体的二维面都已经不复存在——它们已经变成八面体胞里面的中空的正方形结构,不再是图形的边界,但正方形的边界还是多胞体的边界,所以这导致看它的投影图里含有一个超立方体——其实只是一个中空的结构(想想棱形十二面体吧)。 我们看到多胞体的两类顶点:原来超立方体16个顶点和胞心“拉出”的8个顶点都是每点发出4条棱,且可以几何证明那个八面体是正八面体!所以这个菱形十二面体的高维类比居然华丽升级成了正多胞体,不可思议!我是这样理解这个“逆袭”现象的:超立方体的体对角线是一个整数2,这使得对角方向的几何图形的边和原坐标轴方向上的边才有可能等长,进而才有所有棱长相等的可能吧。返回目录 最密堆积问题 有类很著名的几何问题就是同样大小的圆或球的最密堆积问题,二维情形是这样的: ![]() ![]() ![]() 我们再换个角度思考:正二十四胞体是不是像截半立方体那样是什么图形截角得到的呢?由于正二十四胞体每个胞是正八面体,如果它是截角得到的截胞,则截下的顶点应该发出8条棱,显然不是超立方体或正十六胞体了,所以这个类比是失败的。 MathWorld网站上说,五维空间中的最密堆积也是这样类比的,但6、7维空间中的最密堆积的基本结构是cross——八面体、正16胞体对应的那一系列类比出的几何体。八维空间中的最密堆积又是两个面心立方堆积的组合,而其他一些高维空间中的最密堆积还有乱的(既超球排列没有周期规律)。返回目录 正一百二十胞体《维度》影片中讲述者最喜爱的图形是24号,而我最喜欢的图形就是120号。我曾经用掉一个本子满篇画正一百二十胞体球极投影结构。 它的球极投影图就是119个有着十二个面的“泡泡”组成的一个大泡泡。有人把119个十二面体3d打印了出来,感觉就是一套目的是拼出一个大十二面体的拼图玩具。我们现在要搞清的是这里面119个“泡泡”是怎么做到无缝精致拼接在一起的。注意,我们现在不再从五边形-正十二面体-正一百二十胞体这样一层一层类比了。正十二面体结构太复杂了,所以我们直接把它当作超球上的一种正十二面体密铺的图案。既然这样我们先一层一层看十二面体在超球上的分布情况: 位置 胞数 说明 北极 1 最外面的12面体 北极圈 12 与北极12面体12个面相邻 中纬度 20 填补北极圈对应北极12面体20个顶点位置的凹陷 北回归线 12 分别与北极圈12个12面体靠南的12个面相邻 赤道 30 填补对应南北极12面体30条棱上的30个空隙 南回归线 12 分别与北回归线12个12面体靠南的12个面相邻 中纬度 20 填补南极圈对应南极12面体20个顶点位置的凹陷 南极圈 12 分别与南回归线12个12面体靠南的12个面相邻,且与南极12面体12个面相邻 南极 1 最里面的12面体
正六百胞体与正120胞体对偶,正120胞体是十二面体胞中心的地方正六百胞体就有一个发出12条棱的顶点,正六百胞体是四面体体胞中心的地方正120胞体就有一个发出4条棱的顶点,所以根据对偶性(顶点-胞、棱-边)正六百胞体没有什么新的结构了,我们就暂不讨论了。至于有人说正六百胞体球极投影里面有单形(正五胞体)展开图,我认为这只是巧合看起来像而已,它们无实际联系。 镶嵌 还记得《维度》影片中出现的那些蜥蜴吗?我们仔细看那幅画有蜥蜴的画:二维的蜥蜴可以无缝地铺满整个二维空间。这幅画的原作是埃舍尔(Escher,有一本介绍他的很好的书《哥德尔艾舍尔巴赫:集异璧之大成》),他是一个奇特的画家,专门画错觉图形和数学几何图形。 ![]() 返回目录 上一篇 查看系列目录 下一篇 |
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