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正态分布又叫做高斯分布(gauss distribuition)Normal Distribution,起源于高斯,但追其本源,其真正的发明者并不是大名鼎鼎的数学王子高斯,它来自于维多利亚时期的一名学者Francis Galton,他在日常的生活研究中发现了一种很常见的现象,就是许多的生活现象,无论是商业现象还是各种日常活动都往往服从于一种有规律的分布,方便起见,他把它命名为正态分布,其英语单词normal由mormal(正态)转换而来,其就是代表生活中各种简单的现象,正所谓,真理往往都是以简单的形式存在。 正态分布 的概率密度函数f(x)=1/√2Πσ*e^-(x-μ)^2/2σ^2 (虽然这样写不太好理解,但pc端限制大家见谅) 其中σ>0,则称随机变量服从正态分布x~N(μ,σ^2); 若μ=0,σ=1,则称其为标准正态分布N(0,1),一般处理数学问题时为了方便计算常把正态分布转化为标准正态分布 (又叫U分布) 标准化: ψ(x)=x-μ/σ使得服从标准正态分布 期望和方差: 作为最常见的连续分布,它的期望和方差也是很便于记忆 E(X)=μ,D(x)=σ^2 性质: 1:若存在两个随机变量ξ1,ξ2相互独立,且ξ1~N(μ1,σ1^2),ξ2~N(μ2,σ^2),则 ξ1+ξ2~N(μ1+μ2,σ1^2+σ^2) 2: 正态分布具有线性性质:如果X~N(μ,σ^2),a,b为实数,则aX+b~N(aμ+b,(aσ)^2); 3: 4:三个标准差 68% 95% 99.7% 在中轴x=μ的第一个标准差(x-σ,x+σ),如下图,两者所围的图像概率为68%; 在中轴线x=μ的两个标准差之内(x-2σ,x+2σ),如下图,两者所围成的面积概率是95%; 在中轴线x=μ的三个标准差之内(x-3σ,x+3σ),如下图吗,两者所围成的面积概率是99.7%; *μ既指正态分布的数学期望,又是其图像的中轴线;σ是正态分布的标准差√D(x) μ和σ对图像的影响:μ代表图像的中轴,遵循左加右减;标准差σ表示图像的峰值高低,当σ越小,图像越陡峭;反之则显得图像比较扁平。 正态分布作为许多统计方法的理论基础,检验、方差、假设检验、相关和回归分析等都要求服从正态分布,而后边衍生的三种抽样分布:卡方分布、T分布、F分布也都是由正态分布转化而来,因而正确理解正态分布及其规律是进行统计学研究学习的第一步。 正态分布的应用:多元高斯分布、混合高斯分布、边缘高斯分布、条件高斯分布.... |
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