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辅助角公式: ,其中tanφ=b/a(a>0). 该公式的主要作用是将多个三角函数的和化成单个函数,以此来求解有关的最值问题、周期问题等。 1、推导过程 变形得 为利用两角和差公式化简,设-π/20) 其等价于tanφ=a/b 则 即 其中tanφ=a/b 注意:两种令法中初相用了同一个字符φ表示,但含义不同,要区分。 2、分析意义 我们需要分析公式中每一个量的意义。 先看等式左边是两个分别增大(或减小)一定倍数的正弦与余弦函数的和。 再看等式右边是一个增大(或减小)一定倍数并且被改变了初相的正弦函数。 从代数意义上讲,辅助角公式是为了将几个同频率的正弦型函数求和,转化为一个单独的正弦型函数而诞生的。频率相同意味着ω相同,所以对于辅助角公式而言,为了方便起见,我们只讨论ω=1时的特殊情况。在这种情况下,对于一个正弦型函数,我们只有A(增大的倍数)与φ(初相) 两个量需要讨论。 我们可以把A看作大小,把φ看作角度。而角度和大小恰是极坐标系确定位置的两个要素。 辅助角公式与极坐标系有什么关系吗? 简化验证 简化问题,使a=b=1,得 又∵ ∴ 而在极坐标系中平面向量的加即为 (如下图) 两者之间有异曲同工之妙。 即sin与cos都只是单位向量, 而a、b两者是单位向量的变化幅度, 是两向量和的模,φ则是和向量与横轴的夹角。 推广延伸 之前的验证只是在a=b=1下进行的。其实,这一结果具有普适性。 注:这种几何意义同样适合推导诱导公式等部分三角函数恒等变换公式,但三角函数间乘法不等价于单位向量间点乘(即数量积)。 3、疑问 为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)?其实是在分类讨论a>0或b>0的时候,已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了,此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k∈Z)。而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变,况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示,使得公式更加简洁明了。 个人推荐第一种书写形式,等式左边读时,先读a再读到b,右边读到分数时先读分母再读分子,也是先读a再读到b,而且有三个加号,这样记忆不易出错。 当然本文开头的书写形式也推荐,把一个长式子分两段来记,减少了记忆难度,其次若忘记了φ等于多少,还可以根据第一段公式逆推。 最后将公式汇总如下 4、提出者 李善兰李善兰,出生于1811年 1月22日,逝世于1882年12月9日,浙江海宁人,是中国近代著名的数学、天文学、力学和植物学家,创立了二次平方根的幂级数展开式,研究各种三角函数,反三角函数和对数函数的幂级数展开式(现称“自然数幂求和公式”),这是李善兰也是19世纪中国数学界最重大的成就。 |
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