连续时间正弦信号和离散时间正弦信号

时移等于相变。反过来也成立。 Time Shift Phase Change y = A s i n ( w t + φ ) , 其 中 , A 是 振 幅 , w 是 频 率 （ 角 频 率 ） , φ 是 初 相 y=Asin(wt+φ),其中,A是振幅,w是频率（角频率）,φ是初相 y=Asin(wt+φ),其中,A是振幅,w是频率（角频率）,φ是初相 证 明 证明 证明： 对 于 A s i n ( w t ) , 有 一 个 时 移 t 0 , 代 入 ： 对于Asin(wt),有一个时移t_0,代入： 对于Asin(wt),有一个时移t0​,代入： A s i n ( w ( t + t 0 ) ） = A s i n ( w t + w t 0 ) ， w t 0 这 一 项 则 可 以 看 作 是 一 个 相 变 。 （ 时 移 产 生 了 相 变 ） Asin(w(t+t_0)）=Asin(wt+wt_0)，wt_0这一项则可以看作是一个相变。（时移产生了相变） Asin(w(t+t0​)）=Asin(wt+wt0​)，wt0​这一项则可以看作是一个相变。（时移产生了相变） 反 过 来 , 若 有 一 个 相 变 ， A s i n ( w t + w t 0 ) 反过来,若有一个相变，Asin(wt+wt_0) 反过来,若有一个相变，Asin(wt+wt0​) w t 0 就 等 于 相 变 , 把 w 提 取 出 来 ， A s i n ( w ( t + t 0 ) ) , 即 相 变 对 应 一 个 时 移 。 wt_0就等于相变,把w提取出来，Asin(w(t+t_0)),即相变对应一个时移。 wt0​就等于相变,把w提取出来，Asin(w(t+t0​)),即相变对应一个时移。 无 论 相 变 是 多 少 ， 都 能 求 出 对 应 的 时 移 无论相变是多少，都能求出对应的时移 无论相变是多少，都能求出对应的时移

x [ n ] = A s i n ( Ω n + φ ) x[n]=Asin(Ωn+φ) x[n]=Asin(Ωn+φ) 注意的是，自变量是一个整数变量。n只会取整数。

Time Shift => Phase Change 时移等于相变。 A s i n ( Ω ( n + n 0 ) ) = A s i n ( Ω n + Ω n 0 ) , 做 一 个 时 间 移 位 ， 则 产 生 了 相 变 , Ω n 0 就 等 于 相 变 Asin(Ω(n+n_0))=Asin(Ωn+Ωn_0),做一个时间移位，则产生了相变,Ωn_0就等于相变 Asin(Ω(n+n0​))=Asin(Ωn+Ωn0​),做一个时间移位，则产生了相变,Ωn0​就等于相变

但是相变不一定能产生时移。这是离散信号和连续信号的一个差别。 Ω n 0 = φ ， 因 此 n 0 = φ / Ω ， 而 n 0 不 一 定 是 一 个 整 数 。 Ωn_0=φ，因此n_0=φ/Ω，而n_0不一定是一个整数。 Ωn0​=φ，因此n0​=φ/Ω，而n0​不一定是一个整数。 因 此 ， 当 n 0 是 整 数 时 ， 相 变 能 产 生 时 移 ， 若 n 0 不 是 整 数 ， 则 相 变 不 能 产 生 时 移 。 因此，当n_0是整数时，相变能产生时移，若n_0不是整数，则相变不能产生时移。 因此，当n0​是整数时，相变能产生时移，若n0​不是整数，则相变不能产生时移。

离散的正弦信号的周期性： x [ n ] = A s i n ( Ω n + φ ) x[n]=Asin(Ωn+φ) x[n]=Asin(Ωn+φ) 具 备 周 期 性 , 即 x [ n ] = x [ n + N ] 具备周期性,即x[n]=x[n+N] 具备周期性,即x[n]=x[n+N] 代 入 有 ： A s i n ( Ω n + φ ) = A s i n [ Ω ( n + N ) + φ ] = A s i n ( Ω n + Ω N + φ ) 代入有：Asin(Ωn+φ)=Asin[Ω(n+N)+φ]=Asin(Ωn+ΩN+φ) 代入有：Asin(Ωn+φ)=Asin[Ω(n+N)+φ]=Asin(Ωn+ΩN+φ) 根 据 三 角 函 数 的 性 质 , 左 边 要 等 于 右 边 ， 则 Ω N = 2 π m , m 为 任 意 的 整 数 根据三角函数的性质,左边要等于右边，则ΩN=2πm,m为任意的整数 根据三角函数的性质,左边要等于右边，则ΩN=2πm,m为任意的整数 因 此 , N = 2 π m / Ω 因此,N=2πm/Ω 因此,N=2πm/Ω 但 是 对 于 离 散 信 号 来 说 ， 自 变 量 是 整 数 变 量 ， 因 此 N 需 要 为 整 数 但是对于离散信号来说，自变量是整数变量，因此N需要为整数 但是对于离散信号来说，自变量是整数变量，因此N需要为整数

举例： Ω = 2 π / 12 Ω=2π/12 Ω=2π/12 则， N = 2 π / ( 2 π / 12 ) = 12 , 周 期 就 是 12 N=2π/(2π/12)=12,周期就是12 N=2π/(2π/12)=12,周期就是12

Ω = 8 π / 31 Ω=8π/31 Ω=8π/31 则， N = 2 π / ( 8 π / 31 ) = 31 / 4 , 此 时 N 不 是 一 个 整 数 ， 因 此 需 要 把 N 乘 以 一 个 整 数 4 N=2π/(8π/31)=31/4,此时N不是一个整数，因此需要把N乘以一个整数4 N=2π/(8π/31)=31/4,此时N不是一个整数，因此需要把N乘以一个整数4 得 到 N = 31 ， 即 意 味 着 这 个 信 号 具 有 周 期 性 ， 周 期 为 31 。 得到N=31，即意味着这个信号具有周期性，周期为31。 得到N=31，即意味着这个信号具有周期性，周期为31。

Ω = 1 / 6 Ω=1/6 Ω=1/6 N = 2 π / ( 1 / 6 ) = 12 π N=2π/(1/6)=12π N=2π/(1/6)=12π π 是 一 个 无 理 小 数 , 12 π 乘 以 任 何 整 数 都 不 能 得 到 一 个 整 数 , 因 此 意 味 着 这 个 信 号 不 具 有 周 期 性 。 π是一个无理小数,12π乘以任何整数都不能得到一个整数,因此意味着这个信号不具有周期性。 π是一个无理小数,12π乘以任何整数都不能得到一个整数,因此意味着这个信号不具有周期性。 然 而 ， 和 这 个 信 号 一 样 的 连 续 时 间 信 号 具 有 周 期 性 ( 周 期 为 12 π ) . 然而，和这个信号一样的连续时间信号具有周期性(周期为12π). 然而，和这个信号一样的连续时间信号具有周期性(周期为12π). 因 为 连 续 时 间 信 号 的 周 期 值 是 可 以 任 意 取 值 的 。 因为连续时间信号的周期值是可以任意取值的。 因为连续时间信号的周期值是可以任意取值的。 不 一 定 非 要 整 数 。 不一定非要整数。 不一定非要整数。

连续时间正弦信号和离散时间正弦信号的差别： 对于连续时间信号，时移产生相变，相变等于时移，即两者是等价的。 对于离散时间信号，时移可以产生相变，而相变不一定能够产生时移。

周期性 连续时间信号具有周期性。 A s i n ( w t + φ ) ， 周 期 取 决 于 w Asin(wt+φ)，周期取决于w Asin(wt+φ)，周期取决于w 离散时间信号不一定具有周期性。 A s i n ( Ω n + φ ) , 周 期 取 决 于 N = 2 π m / Ω , N 要 为 整 数 Asin(Ωn+φ),周期取决于N=2πm/Ω,N要为整数 Asin(Ωn+φ),周期取决于N=2πm/Ω,N要为整数

对于两个离散时间的正弦信号： x 1 = A s i n ( Ω 1 n + φ ) x_1=Asin(Ω_1n+φ) x1​=Asin(Ω1​n+φ) x 2 = A s i n ( Ω 2 n + φ ) x_2=Asin(Ω_2n+φ) x2​=Asin(Ω2​n+φ) 频率不同，若两个频率相差为2π的整数倍， Ω 2 = Ω 1 + 2 π m Ω_2=Ω_1+2πm Ω2​=Ω1​+2πm 则代入以后： x 2 = A s i n [ ( Ω 1 + 2 π m ) n + φ ] = A s i n ( Ω 1 n + φ + 2 π m n ) x_2=Asin[(Ω_1+2πm)n+φ]=Asin(Ω_1n+φ+2πmn) x2​=Asin[(Ω1​+2πm)n+φ]=Asin(Ω1​n+φ+2πmn) 因 为 m 和 n 均 是 整 数 , 根 据 三 角 函 数 性 质 , 这 一 项 取 消 因为m和n均是整数,根据三角函数性质,这一项取消 因为m和n均是整数,根据三角函数性质,这一项取消 也 就 是 说 ， 频 率 相 差 2 π 的 整 数 倍 , 信 号 不 变 ， 对 于 连 续 时 间 信 号 则 不 成 立 也就是说，频率相差2π的整数倍,信号不变，对于连续时间信号则不成立 也就是说，频率相差2π的整数倍,信号不变，对于连续时间信号则不成立

对于两个连续时间的正弦信号： x 1 = A s i n ( w 1 t + φ ) x_1=Asin(w_1t+φ) x1​=Asin(w1​t+φ) x 2 = A s i n ( w 2 t + φ ) x_2=Asin(w_2t+φ) x2​=Asin(w2​t+φ) w 2 = w 1 + 2 π m , 代 入 w_2=w_1+2πm,代入 w2​=w1​+2πm,代入 x 2 = A s i n [ ( w 1 + 2 π m ) t + φ ] = A s i n ( w 1 t + φ + 2 π m t ) x_2=Asin[(w_1+2πm)t+φ]=Asin(w_1t+φ+2πmt) x2​=Asin[(w1​+2πm)t+φ]=Asin(w1​t+φ+2πmt) 由 于 t 是 连 续 变 量 ， 不 一 定 为 整 数 值 , 因 此 最 后 一 项 当 t 为 非 整 数 时 , 该 项 仍 然 存 在 由于t是连续变量，不一定为整数值,因此最后一项当t为非整数时,该项仍然存在 由于t是连续变量，不一定为整数值,因此最后一项当t为非整数时,该项仍然存在 也 就 是 意 味 着 ， 对 于 连 续 时 间 信 号 ， 频 率 相 差 2 π 的 整 数 倍 , 信 号 不 一 致 也就是意味着，对于连续时间信号，频率相差2π的整数倍,信号不一致 也就是意味着，对于连续时间信号，频率相差2π的整数倍,信号不一致