为什么正则变换一般是非线性变换?

要保证

\left[ f,g \right]_{\xi}=\left[ f,g \right]_{Q}

就必须要求 w^{\rho\sigma}\frac{\partial\Xi^{\alpha}}{\partial\xi^{\rho}}\frac{\partial\Xi^{\beta}}{\partial\xi^{\sigma}}=w^{\alpha\beta} ，

尽管相空间没有度规，我们在思考的时候可以从度规的角度去考虑，

即思考 g_{\rho\sigma}=g'_{\alpha\beta}\frac{\partial\Xi^{\alpha}}{\partial\xi^{\rho}}\frac{\partial\Xi^{\beta}}{\partial\xi^{\sigma}}

（其中 g'_{ab}是度规g是在\left\{{\Xi_\alpha} \right\}坐标系中的度规表示，g_{ab}是坐标系\left\{ \xi _\alpha\right\}中的度规表示 ）

而g_{\rho\sigma}=g_{\alpha\beta}\frac{\partial\Xi^{\alpha}}{\partial\xi^{\rho}}\frac{\partial\Xi^{\beta}}{\partial\xi^{\sigma}}就是保度规变换 。

已知killing矢量场对应的就是保度规变换。

在平直时空中，三维空间有6种独立killing矢量场，对应着六种对称变换，这6种变换是平移变换和旋转变换，可以证明是线性变换。在闵氏时空中，伪转动即洛伦兹变换也是线性的，可以证明。等度规映射保持坐标系的笛卡尔性（洛伦兹性）。你可以认为线性变换就是坐标系的旋转平移变换，而非线性变换则对应着弯曲等。

而实际空间是弯曲的，

欧式和闵氏空间是特例，但其保度规线性变换也只有几种情况，所以非线性变换才是常见的。

例子 Q=\frac{1}{2}\left( p^2+q^2 \right) \\P=-arctan\frac{q}{p} 可见就不是熟悉的线性变换