14 直线的一般式方程逐字稿 高中 · 数学 · 人教版（A版） · 选择性必修 第一册

老师

同学们大家好，我是来自北京市第二中学的数学教师付静。今天我们继续来研究直线的一种代数表示直线的一般是方程。在之前的学习中，我们探究过四种表示直线的方程，分别是直线的点斜式方程、斜节式方程、两点式方程和截距式方程。那么请同学们回忆一下这 4 种方程，它们有着怎样的区别和联系。

老师

若说区别，这四种方程是通过已知不同类型的几何要素推导而来的，所以它们的应用条件不同，呈现的表达形式也不同。可若说联系这四种方程都是将直线上任意点的几何特征进行代数表示，从而得到了直线上任意点的横纵坐标x、 y 之间的关系，而这种利用坐标将树与行结合起来的思想，也正是解析几何中的重要思想。

老师

此外，这四种方程在表示直线时都有各自使用的要求，那么请同学们回忆一下以上 4 种方程在表示直线时有怎样的局限性。我们看对于其中的扁斜式和斜式这两种方程，它们使用的条件是要保证直线的斜率存在，所以这两者都不能表示斜率不存在的直线。而对于 2 点式方程，它使用的条件是要满足给定直线上两点的横纵坐标均不相同，因此它不能表示斜率不存在和斜率为 0 的直线。而对于截距式，它使用的条件是要满足直线在两坐标轴上的截距都不为零，所以他除了不能表示斜率不存在和斜率为 0 的直线外，还不能表示过远点的直线。所以可见这 4 种方程都不能表示出所有的直线。

老师

那么请大家想一想，我们能否探究用一种方程的形式来表示平面直角坐标系中的任何一条直线？ l 事实上，直线的方程就是将直线上任意点的几何特征进行代数表示，从而得到直线上任意点的横纵坐标 x y 之间的关系。而这种表示其实本质上就是关于 XY 的一个二元一次方程。所以我们想二元一次方程 a x 加上b， y 加 c 等于0，这种形式应该可以表示任意一条直线。

老师

因此通过前面的学习和我们的分析可以知道，其实在平面直角坐标系中的任意一条直线 l 都应该能用关于 x y 的二元一次方程， a x 加b， y 加 c 等于 0 来表示。其实就是将直线的方程整理变形为a， x 加b， y 加 c 等于 0 的形式。比如我们熟悉的扁斜式方程就可以改写成这样的形式。再比如，当斜率不存在时，直线的方程 x 等于x， 0 也可以表示为 x 加上 0 乘以 y 减去 X0 等于0。所以可见我们只需要将直线的方程恒等变形即可。因此我们可以利用二元一次方程来表示任意一条直线