[数字图像处理]模糊算法用于图像增强

       在计算机编程的时候，常常会使用一种“干脆的”集合。在判断某件事，或者某个变量的时候，常常使用的是布尔值（因为某件事，不是真就是假）。通过一个阈值，去判断这件事，而这样的一个阈值的设定，会产生一个问题。还是使用《Digital Image Processing》 Rafael C. Gonzalez / Richard E. Woods书中的例子，看以下两个图。

       当一个人的年龄超过20岁，那么这个人就不再属于年轻人范畴。这样来说，未免有些太过“残忍”，毕竟，20多岁的人还是“比较”年轻的。这里就出现了一个模糊的定义，“比较”年轻，这个集合既不属于年轻，也不属于非年轻，也就是其实年轻与非年轻之间的过度不应该是干脆的，而应该是渐进的过度。

       定义Z为对象集，其中，z表示Z中的一类元素（比如z表示年龄）。Z中的一个模糊集合A主要由一个隶属度(Degree of membership)来表示。对此，模糊集合A是一个由z值和隶属度函数组成的集合，即

当的时候，所有的z是模糊集合A的完全成员‘；当的时候，所有的z都不是模糊集合A的成员，当的值介于0和1之间，那么此时的z称为模糊集合A的不完全成员。

       下面，还有几个重要的性质。

       对于所有的，模糊集合A的补集(NOT)，其隶属度函数如下所示。

       对于所有的，模糊集合A与模糊集合B的并集(OR)U，其隶属度函数如下所示。

       对于所有的，模糊集合A与模糊集合B的交集(AND)I，其隶属度函数如下所示。

       到这里，其实已经可以用模糊集合来做一些事情了。对于一个问题的处理，在使用模糊集合来解决的时候，我们可以参考以下步骤。首先，需要将输入量折算为隶属度，这个过程叫做“模糊化”。然后，使用得到的隶属度来进行计算，或者判断，或者其他更复杂的算法。最后，需要将隶属度再次折算为输出，这个过程称为“去模糊”或者“反模糊”。

       通过下面两个例子，来具体体会一下模糊算法在图像处理上的运用。

       使用模糊集合来进行灰度变换，从而增强图像。首先可以在常理下考虑一下，一般的对于动态范围较小的图像，我们一般的处理的方法是灰度拉升，或者直方图均衡。这两种的方法的本质就是，让原图较暗的像素更加暗，让原图较亮的像素更加亮。那么，我们规定如下模糊规则

R1：IF 一个像素是暗的，THEN 让这个像素更暗；

R2：IF 一个像素是灰的，THEN 让他保持是灰的；

R3：IF 一个像素是亮的，THEN 让这个像素更亮；

       这个规则就代表了我们的处理方法。当然，IF条件中的像素是暗的(或者灰的，或者是亮的)，这个概念都是模糊的。同理THEN结论中的更暗(或者保持灰的，或者更亮)亦是模糊的。为此，我们需要确立一个隶属度函数，从而来判断一个像素对于三个条件的隶属度。

       实际上，隶属度函数的确定是很复杂的，然而，这里我们则尽量想得简单一点。首先，一个像素是暗的(模糊)，那么其隶属度函数大致的形状是，在低于某个值的时候域隶属度为1，在灰度越过某一个值之后，其隶属度为0，当然。然后与之间进行线性插值，那么，我们就可以得到R1的隶属度函数了。同理，R2与R3也是一样的。

        为了简单起见，我们将THEN结论中的更暗设置为较为简单的函数。为了让这个像素更黑，其输出都为0。同理，为了使这个像素保持灰的，我们将其输出设为0.5，为了使得一个像素更亮，我们将其设置为1。

        根据以上讨论，我们所决定的隶属度函数如下所示。

       使用输入的隶属度函数，可以得到模糊化后的数据。对于一个像素，需要根据规则R1，R2与R3，计算出所对应的隶属度，与，这个过程，称之为模糊化。将一个输入量模糊化，所使用的函数(或者说是对应关系)，称之为知识库。

       模糊化之后，得到一个像素所对应的三个隶属度，与之后，就可以进行反模糊化了。反模糊化的算法很多，这里使用简单的重心法去进行计算。

      到此，就得到了输出，整个算法的效果如下图所示。

       根据以上算法，所得到的结果还是比较理想的。从灰度直方图来看，处理后的图像的直方图的动态范围得到了扩展，所得的图像也比原图更加的明亮清晰，图片的一些细节处理的较为妥当。所使用的Matlab代码如下所示。