概率论复习题+部分详解

2024-07-16 10:23| 来源: 网络整理| 查看: 265

概率论与数理统计练习题 1.假设检验中，显著性水平 α \alpha α 限制（第一类错误（拒真错误）#）的概率

分析：（1）．原假设为真时拒绝原假设的概率不超过α （2）．犯第一类错误的概率不超过α；（第一类错误概率的上界．）在这里插入图片描述

2.设 A,B 为概率不为零两个随机事件，若 P(A| B) = P(A| B ˉ \bar{B} Bˉ) ，则 A,B 一定（独立）

分析：在这里插入图片描述

3. 设总体 X 服从正态分布 N( μ \mu μ, σ 2 \sigma ^{2} σ2) 其中 μ \mu μ、 σ 2 \sigma ^{2} σ2 未知， X 1 … X n X_{1}…X_{n} X1…Xn 是总体 X 的一个简单随机样本，则下 σ 2 \sigma ^{2} σ2 的无偏估计为（ 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2} n−11∑i=1n(Xi−X)2）， X ‾ \overline{X} X 、 S 2 S^{2} S2为样本均值和样本方差，则E( X ‾ \overline{X} X)=( μ \mu μ ),E( S 2 S^{2} S2)=(), X ‾ \overline{X} X~(N( μ \mu μ, σ 2 n \frac{\sigma ^{2}}{n} nσ2)), ( n − 1 ) S 2 σ 2 \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}} σ2(n−1)S2~( X 2 ( n − 1 ) X^{2}(n-1) X2(n−1) ).

分析：

S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2} S2=n−11∑i=1n(Xi−X)2 X ‾ \overline{X} X= 1 n ∑ i = 1 n X i \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i} n1∑i=1nXi 则有：1. X ‾ \overline{X} X、 S 2 S^{2} S2相互独立 2. X ‾ \overline{X} X~(N( μ \mu μ, σ 2 n \frac{\sigma ^{2}}{n} nσ2)) 3. ( n − 1 ) S 2 σ 2 \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}} σ2(n−1)S2~( X 2 ( n − 1 ) X^{2}(n-1) X2(n−1) ).

在这里插入图片描述

关于正态总体的样本均值与样本方差的重要结论详细

4．设 ( X,Y ) ~ N( μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 \mu_{1},\mu_{2}, \sigma ^{2}_{1}, \sigma ^{2}_{2} μ1,μ2,σ12,σ22,0)则随机变量X,Y（相互独立（不相关））

分析：设二维随机变量 ( X,Y ) ~ N( μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 \mu_{1},\mu_{2}, \sigma ^{2}_{1}, \sigma ^{2}_{2} μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，则X、Y相互独立的充分必要条件是：相关系数ρ=0。

5.已知随机变量 X ~ t(7),则 X 2 X^{2} X2 ~（ F（1,7）)

分析：X~N(0,1) 、Y~ X 2 X^{2} X2(n)，且X与Y独立，则统计量：T= X Y n \frac{X}{\sqrt{\frac{Y }{n}}} nY X,服从自由度为n的t分布，即为T~t(n). 因为n=7; X 2 X^{2} X2= T 2 T^{2} T2= X 2 Y n \frac{X^{2}}{\frac{Y }{n}} nYX2= X 2 / 1 Y / n \frac{X^{2}/1}{Y /n} Y/nX2/1 由F分布：F(m,n)= X / m Y / n \frac{X/m}{Y /n} Y/nX/m 则 X 2 X^{2} X2 ~ F（1,7）在这里插入图片描述

6.设 X 1 、 X 2 … X 5 X_{1}、X_{2}…X_{5} X1、X2…X5 是总体 X ~ N(0,1) 的样本，当 a =( 6 3 \frac{\sqrt{6}}{3} 36 )时， a ( X 1 + X 2 + X 3 ) X 4 + X 5 \frac{a(X_{1}+X_{2}+X_{3})}{\sqrt{X_{4}+X_{5}}} X4+X5 a(X1+X2+X3)~t(2).

分析：因为 X 1 、 X 2 … X 5 X_{1}、X_{2}…X_{5} X1、X2…X5 是总体 X ~ N(0,1) 的样本，且 a ( X 1 + X 2 + X 3 ) X 4 + X 5 \frac{a(X_{1}+X_{2}+X_{3})}{\sqrt{X_{4}+X_{5}}} X4+X5 a(X1+X2+X3)= 3 a 2 \frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{2}} 2 3 a, 为使 a ( X 1 + X 2 + X 3 ) X 4 + X 5 \frac{a(X_{1}+X_{2}+X_{3})}{\sqrt{X_{4}+X_{5}}} X4+X5 a(X1+X2+X3)~t(2).，只需 3 a 2 \frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{2}} 2 3 a=1即可，得 a = 6 3 \frac{\sqrt{6}}{3} 36 在这里插入图片描述

7．已知 D(X ) =1, D(Y) = 3, cov(X ,Y) = 0.6 ，则 D(X - 3Y + 5) = (24.4 ).

分析：因为1、D（C）=0; 2、D（aX+b）= a 2 a^{2} a2D(X); 3、D(X ± \pm ±Y）=D(X)+D(Y) ± \pm ±DOV（X,Y) 则D(X - 3Y+5 ) =D(X - 3Y ) =D(X)+9D(Y)-6COV（X,Y) =1+9 ∗ \ast ∗ 3-0.6 ∗ \ast ∗ 6=24.4 在这里插入图片描述

8.随机变量 X ~ N(0,2),Y ~ N(1,3) ， X ,Y 独立，则 Z =2X +Y +3 ~ (N(4,11) )

分析：X ~ N(0,2),Y ~ N(1,3) 且随机变量 X ,Y 独立，故X和Y的任意线性组合是正态分布。即 Z~N（E(Z)，D(Z)）， 1.X,Y独立：D(aX ± \pm ±Y ± \pm ±b）= a 2 a^{2} a2D(X)+D(Y) 2.E(aX ± \pm ±Y ± \pm ±b）=aE(X) ± \pm ±E(Y) ± \pm ±b 因为 Z =2X +Y +3 ， E(Z)=2E(X)+E(Y)+3=20+1+3=4； D(Z)=4D(X)+D(Y)=42+3=11；所以Z~N(4,11)； Z=2X +Y +3 ~N(4,11)

9.随机变量 X ~ P(1),Y ~ P(3)，且 X,Y 相互独立，则随机变量 Z = X +Y ~ (P(4) ) ．

分析：泊松分布具有可加性即Z = X +Y ~P (1+3 )=P(4) ．

10．设 A, B 为随机事件， P(A) = 0.5, P(A- B) = 0.2 ，则 P( A B ‾ \overline{AB} AB) = ( 0.7)．

P(A- B)=P(A)-P(AB) P(AB)=P(A)-P(A- B)=0.5-0.2=0.3 P( A B ‾ \overline{AB} AB) =1-P(AB)=1-0.3=0.7 扩展资料：常用概率公式 1、设A、B是互不相容事件（AB=φ），则：P（A∪B）=P（A）+P（B）推论1：设A1、A2、…、An互不相容，则：P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) 推论2：设A1、A2、…、An构成完备事件组，则：P(A1+A2+…+An)=1 推论3：为事件A的对立事件。推论4：若B包含A，则P(B－A)=P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A与B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB) 2、条件概率：已知事件B出现的条件下A出现的概率，称为条件概率，记作：P(A|B)条件概率计算公式：当P(A)>0，P(B|A)=P(AB)/P(A) 当P(B)>0，P(A|B)=P(AB)/P(B) 3、乘法公式 P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B) 推广：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)

11.设 P(A) =0.3, P(B) = 0.5，则 P(AB) 的最大值为(0.3 ).

分析：由概率加内法公式： P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) 得： P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB) 当P(AUB)最小的时容候P(AB)取到最大值令AUB=B,那么P(AUB)=P(B)=0.5 P(AB)=P(A)=0.3

12.设某种仪器内装有 4 只同样的电子管，已知电子管的寿命 X 的密度函数为

求：（1）密度函数中的常数 a . (2)任一电子管在 200 时内损坏的概率. (3)在开始的 200 时内，4 只电子管无损坏的概率.

答：(1)密度函数f(x)满足∫(-∞,+∞)f(x)dx=1 在这里插入图片描述

13,设二维随机变量(X ,Y) 的联合密度函数为

（1）求随机变量 X,Y 的边缘密度函数； (2)求 Cov（X,Y）；（3） ρ X Y \rho_{XY} ρXY

分析：（1）边缘密度函数：如果二维随机变量X,Y的分布函数F{x，y}为已知，那么随机变量x，y的分布函数Fx{x}和Fy{y}分别可由F{x，y}求得。则Fx{x}和Fy{y}为分布函数F{x，y}的边缘分布函数。　在这里插入图片描述　（2）COV（X,Y）=E{[X-E（X)][Y-E（Y）]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E（XY）-EXEY E(XY)等于在全平面上对xyf(x,y)关于x,y求二重积分，注意f(x,y)在不同区域具体形式不一样。（2）ρ= C o v ( X , Y ) D （ X ） D （ Y ） \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D（X）}\sqrt{D（Y）}} D（X） D（Y） Cov(X,Y) D（X）= E （ X 2 ） + E （ X ） 2 E（X^{2}）+E（X）^{2} E（X2）+E（X）2 在这里插入图片描述

14.已知某种螺钉的直径 ~ ( μ \mu μ, σ 2 \sigma ^{2} σ2) ，现抽取 9 枚测得其长度（单位：mm）如下： 14.7，15.0， 14.8，14.9，15.1，15.2，14.8，14.7，15.0 （1）求未知参数 μ \mu μ, σ 2 \sigma ^{2} σ2 的极大似然估计； (2)求参数 μ \mu μ 的 95%的置信区间。

分析：在这里插入图片描述 S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2} S2=n−11∑i=1n(Xi−X)2