假设检验及例题讲解

本博客结合浙大假设检验的课程PPT，以举例子的方式通俗易懂地展示了如何使用常见的几种假设检验以及使用技巧。

我们在生活中经常会遇到对一个总体数据进行评估的问题，但我们又不能直接统计全部数据，这时就需要从总体中抽出一部分样本，用样本来估计总体情况。

举一个简单的例子： 然后我们来分析一下：

如何操作：

原假设： H 0 : E X = 75 ; H 1 : E X ≠ 75 H_0:EX=75; H_1:EX≠75 H0​:EX=75;H1​:EX=75 假定原假设正确，则 X ∼ N ( 75 , σ 2 ) \mathbf{X}\sim \mathbf{N}(75, \sigma^{2}) X∼N(75,σ2)，于是 T 统计量 拒绝域： T = X ˉ − 75 S / n ∼ t ( n − 1 ) T=\frac{\bar{X}-75}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1) T=S/n ​Xˉ−75​∼t(n−1) 可得： P { X ˉ − 75 S / n ≥ t α / 2 } = α P\{\frac{\bar{X}-75}{S/\sqrt{n}} \ge t_{\alpha/2}\}=\alpha P{S/n ​Xˉ−75​≥tα/2​}=α 如果某一样本的观测值 ∣ X ˉ − 75 S / n ∣ ≥ t α / 2 \lvert \frac{\bar{X}-75}{S/\sqrt{n}} \rvert \ge t_{\alpha/2} ∣S/n ​Xˉ−75​∣≥tα/2​，则拒绝 H 0 H_0 H0​。

注意蓝色字体，是如何定义哪些名词的：

假设检验是先对总体参数提出一个假设值，然后利用样本信息判断这一假设是否成立？

由定义可知，我们需要对结果进行假设，然后拿样本数据去验证这个假设。

所以做假设检验时会设置两个假设：

一种叫原假设，也叫零假设，用H0表示。原假设一般是统计者想要拒绝的假设（但也不绝对），这样通过证伪原假设就可以反证统计者真正想要接受的假设。原假设的设置一般为：等于（更多情况）=、大于等于>=、小于等于、小于< （没有等于哦）。

为什么统计者想要拒绝的假设放在原假设呢？因为原假设备被拒绝如果出错的话，只能犯第I类错误，而犯第I类错误的概率已经被规定的显著性水平所控制。

我们通过样本数据来判断总体参数的假设是否成立，但样本时随机的，因而有可能出现小概率的错误。这种错误分两种，一种是弃真错误，另一种是取伪错误。

弃真错误 也叫第I类错误或α错误：它是指 原假设实际上是真的，但通过样本估计总体后，拒绝了原假设。明显这是错误的，我们拒绝了真实的原假设，所以叫弃真错误，这个错误的概率我们记为α。这个值也是显著性水平，在假设检验之前我们会规定这个概率的大小。（类似于假阴性） 原假设H0为真，而检验结果为拒绝H0，记其概率为 α \alpha α，即： P { 拒绝 H 0 ∣ H 0 为真 } = α P\{拒绝H0|H0为真\}=\alpha P{拒绝H0∣H0为真}=α，这里的 α \alpha α 这就是我们说的显著性水平。

取伪错误 也叫第II类错误或β错误：它是指 原假设实际上假的，但通过样本估计总体后，接受了原假设。明显者是错误的，我们接受的原假设实际上是假的，所以叫取伪错误，这个错误的概率我们记为β。（类似于假阳性） 原假设H0不符合实际，而检验结果为接受H0，极其概率为 β \beta β，即： P { 接受 H 0 ∣ H 0 为假 } = β P\{接受H0|H0为假\}=\beta P{接受H0∣H0为假}=β

希望：犯两类错误的概率越小越好，但样本容量一定的前提下，不可能同时降低 α 和 β \alpha 和 \beta α和β。 原则：保护原假设，即限制 α \alpha α 的前提下，使 β \beta β 尽可能地小。

现在清楚原假设一般都是想要拒绝的假设了么？因为原假设备被拒绝，如果出错的话，只能犯弃真错误，而犯弃真错误的概率已经被规定的显著性水平所控制了。这样对统计者来说更容易控制，将错误影响降到最小。

可以这么概括两类错误：

显著性水平 α \alpha α 为犯第一类错误的概率。 显著性水平是指当原假设实际上正确时，检验统计量落在拒绝域的概率，简单理解就是犯弃真错误的概率。这个值是我们做假设检验之前统计者根据业务情况定好的。

显著性水平α越小，犯第I类错误的概率自然越小，一般取值：0.01、0.05、0.1等

当给定了检验的显著水平a=0.05时，进行双侧检验的Z值为1.96，t值为 。

当给定了检验的显著水平a=0.01时，进行双侧检验的Z值为2.58 。

当给定了检验的显著水平a=0.05时，进行单侧检验的Z值为1.645 。

当给定了检验的显著水平a=0.01时，进行单侧检验的Z值为2.33

一个重要概念：p值 ：用于确定我们是否拒绝H0，是一个概率值，如图当P值小于显著水平时，说明检验的统计量落入拒绝域中，拒绝零假设。

参数的假设检验：已知总体的分布类型，对分布函数或密度函数中的某些参数提出假设，并检验。

基本原则——小概率事件在一次实验中是不可能发生的。

思想：如果原假设成立，那么某个分布已知的统计量在某个 区域（拒绝域，参考2.2节） 内取值的 概率 α \alpha α（显著性水平，又称检验水平） 应该较小，如果样本的观测数值落在这个小概率区域内，则原假设不正确，所以拒绝原假设；否则，接受原假设。

检验方式分为两种：双侧检验和单侧检验。单侧检验又分为两种：左侧检验和右侧检验。

双侧检验：备择假设没有特定的方向性，形式为“≠”这种检验假设称为双侧检验

单侧检验：备择假设带有特定的方向性 形式为">“”