概率论中多元随机变量函数分布中的卷积公式原来是重积分换元

{ x = x ( u , v ) y = y ( u , v ) \left\{\begin{matrix} x=x(u,v)\\ \\ y=y(u,v) \end{matrix}\right. ⎩⎨⎧​x=x(u,v)y=y(u,v)​

J = ∣ ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∣ J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\ \\\frac{\partial y}{\partial u} &\frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} J=∣∣∣∣∣∣​∂u∂x​∂u∂y​​∂v∂x​∂v∂y​​∣∣∣∣∣∣​

d x d y = d [ x ( u , v ) ] d [ y ( u , v ) ] = ∣ J ∣ ⋅ d u d v dxdy=d[x(u,v)]d[y(u,v)]=|J|\cdot dudv dxdy=d[x(u,v)]d[y(u,v)]=∣J∣⋅dudv

①： Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y f z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( z − y , y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , z − x ) d x f_{z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(z-y, y) \mathrm{d} y=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) \mathrm{d} x fz​(z)=∫−∞+∞​f(z−y,y)dy=∫−∞+∞​f(x,z−x)dx ②： Z = X ⋅ Y Z=X\cdot Y Z=X⋅Y f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ 1 ∣ x ∣ f ( x , z x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ 1 ∣ y ∣ f ( z y , y ) d y f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|x|} f\left(x, \frac{z}{x}\right) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|y|} f\left(\frac{z}{y}, y\right) \mathrm{d} y fZ​(z)=∫−∞+∞​∣x∣1​f(x,xz​)dx=∫−∞+∞​∣y∣1​f(yz​