概率论中的独立性

若A、B两个事件满足： P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B) 则A、B相互独立。

注意： P ( B ∣ A ) P(B|A) P(B∣A)是指A发生的条件下，B发生的概率； P ( B ) P(B) P(B)为B发生的概率，此二者是否相等？ 如果 P ( B ∣ A ) = P ( B ) P(B|A)=P(B) P(B∣A)=P(B)，则表明事件A对B无影响，即A和B是相互独立的。

例：抛硬币2次，设A为第一次出现正面，B为第二次出现正面的事件，则： P ( A ) = 1 2 P(A)=\frac{1}{2} P(A)=21​ P ( B ) = 1 2 P(B)=\frac{1}{2} P(B)=21​ P ( A B ) = 1 2 × 1 2 = 1 4 P(AB)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4} P(AB)=21​×21​=41​（第一第二次都为正面的概率） 由条件概率公式： P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(AB)​ 得： P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) = 1 4 1 2 = 1 2 P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} P(A∣B)=P(B)P(AB)​=21​41​​=21​ 因为 P ( A ∣ B ) = P ( A ) P(A|B)=P(A) P(A∣B)=P(A)，即在B发生的前提下A发生的概率等于A发生的概率，所以B对A没影响，也就是B与A没关系，相互独立。

总结： P ( A ∣ B ) P(A|B) P(A∣B)和 P ( A B ) P(AB) P(AB)的公式不一样，不要搞混，公式见上文。