选修2

第八章 随机变量及其概率分布

§8.1 离散型随机变量及其分布律

一．随机变量

我们注意到这样的现象：

（1）随机试验的结果往往表现为数量，如：击中次数、潮位数值、投掷骰子等。

（2）若不表现为数量，可使其数量化，如：抽牌时，将牌张编号等。

以X表示试验的数值结果，则X是随机变量。（解释“随机”）即取值是随机的变量叫随机变量。举例：

（1）掷币： X为“出现正面的次数”， X的可能取值为1、0。即

{X = 1}=“正面朝上”， {X = 0}= “反面朝上”，并且

P{X = 1}= P{X = 1}= 0.5

（2）抽牌： X为“抽得牌张编号“， X的可能取值为1，2，3，…，52。{14≤X≤26} =“抽到红心”

随机变量用大写字母X、Y、Z等表示。

特别注意：随机变量的取值或取值范围表示随机事件，而我们研究随机变量最主要的就是随机变量的取值或在某个范围内取值的概率（随机变量X本身不是事件）。即

或

二．离散型随机变量

如果X的取值（可以有限也可以无限）可以一一列出，即可以排队的，则称X是离散型的随机变量。

设X的可能取值为xk（ k = 1， 2， …， n），并且相应的概率P{X = xk} = pk都知道，则该随机变量的规律就完全搞清楚了。

X的规律是指 ①弄清可能取值 ②知道概率。写成矩阵形式：

～

这个表格称为分布律（分布列）。分布律应满足以下条件（性质）：

（1） ；（2）

分别叫做概率的非负性和概率的完备性。

例1 求a的值，使X的分布律为 。

解：

【注】分布律可以列表，也可用公式表示，本质都是以概率为函数值的一种特殊的函数，仅仅是表示的形式不同而已。

例2 现有10件产品中，其中有3件次品，现任取两件产品，记X是“抽得的次品数”，求X的分布律。

解 X可能取值为0，1，2，（这是关键步骤，常被忽视而致思维受阻）。概率为

， ，

则分布律为 ～

【注】求分布律，首先弄清X的确切含义及其所有可能取值。

例3 一种有奖储蓄，20万户为一开奖组。设特等奖20名，奖金4000元；一等奖120名，奖金400元；二等奖1200名，奖金40元；末等奖4万名，奖金4元。求一户得奖额X的分布律。

解 X 的可能取值为4000，400，40，4，0（最后一值易漏，要特别注意，绝大多数是不中奖的），易求分布律

～

以下讨论三种常见的分布：两点分布、二项分布、泊松分布

三．两点分布

X的可能取值仅两点0和1，且P{X =1}= p，则分布律为 ～

其中 ，则称X服从参数为p的两点分布（0-1分布）。

例4 袋中装6只白球和4只红球，任取一只， 为“取得白球数”，求 的分布律。

解 P{X = 1} = 0.6 ，则 的分布律为 ～

【注】 任何随机试验都可与两点分布相联系：设A是试验中某一事件， X是“一次试验中A出现的次数”，若P（A）= p，则X的分布律为（X = 0表示A未出现）

～

四．二项分布

1．贝努里（Bernoulli）试验

将随机试验在相同条件下独立地重复n次，观察事件A出现的次数，称为贝努里试验，或n次重复独立试验。

如：射击n次，中几次？有放回的抽样（抽牌、模球、检验产品）。事件A出现k次的概率记为Pn（k）。

例5 产品次品率为0.2，有放回地抽5次，求出现2次次品的概率（可见《贝努里试验》Flash动画演示）。

解 即求P5（2），出现次品为A，5次抽样情况可以是

，

这样的情况共有 种，互不相容，其概率都是 ，所以由加法定理得

。

一般地，在贝努里试验中， 出现的概率是p，q=1- p ，则

这种概率模型称为贝努里概型。

2．二项分布

X是n次重复独立试验中A事件出现的次数，P（A） = p，则

（ ）

称X服从参数为n，p的二项分布（或贝努里分布），记X ~ B （ n， p ） 。

例6，产品次品率为10%，任意抽取5件样品，求最多有2件次品的概率。

解：产品量很大时，不放回近似于放回，所以这是贝努里概型且p= 10% = 0.1，现在求P{X≤2}：

【注】要重视应用二项分布的现成结论。常见的二项分布实际问题：

①有放回或总量大的无放回抽样；

②打枪、投篮问题（试验n次发生k次）；

③设备使用、设备故障问题。

例7 螺丝次品率为0.05，十个一包出售，多于一个次品可退货，求退货率。

解 螺丝量大，近似于有放回抽样，次品数 ~ ，求P{X >1}。但直接求很繁，可先求不多于一个次品的概率

（可以查表计算）。所以退货率为 1- 0.9139 = 0.0861 = 8.6 %。

五．泊松（Poisson）分布

若X的可能取值为 （无穷）且

则称 服从参数为 的泊松分布，记为X ~ 。利用幂级数知识可以证明

泊松分布来自于“排队现象”，刻画稀有事件出现的概率。如某时间段内的电话呼叫、纱线断头、顾客到来、车辆通过等。

当n很大时，二项分布近似于泊松分布，即

§8.2 连续型随机变量及其概率密度

一．连续型随机变量

1．概率密度

的取值连成一片（成为一些区间），就是连续型随机变量。如零件尺寸、电池寿命、降雨量等。

P{ a≤X≤b }是连续和，应是定积分（a， 可不同，但被积函数相同）

=

（注意大、小写勿相混）这里函数f （ x ）称为随机变量X的概率密度函数，简称密度。

密度f （ x ）决定了X的变化规律，不同的随机变量有不同的密度。定积分的几何意义是面积，所以概率的几何意义是密度函数曲线下方的面积（见图3）。

2．密度的性质

连续型的概率非负性和概率完备性表现为

（1） （2）

例1 设下列函数是概率密度，求k及P{1≤X≤3}，P { X≤1}

解：由完备性（注意分段函数的积分处理）

3．单点概率

这说明单点概率为零。概率为零的事件不一定是不可能事件。于是

进一步的考虑是当Δx很小时

即单点概率是和密度函数值成正比的无穷小量。

4．概率的几何意义

表明（1）概率的几何意义是曲线 下方的面积。

（2）并且整个曲线下方的面积等于1。又

说明密度f （ x）本身并不是概率，但它表示各点概率（无穷小）之间的比例。

以下讨论三种常见的分布：均匀分布、指数分布、正态分布。

二．均匀分布

各点的概率（比例）相同，即f （x）恒等于常数。若X的概率密度为