4 卷积的拉普拉斯变换

系统输入的拉普拉斯变换 X ( t ) X(t) X(t) 乘以传递函数 H ( s ) H(s) H(s) 等于系统输出的拉普拉斯变换 Y ( s ) Y(s) Y(s)

X ( s ) = L [ X ( t ) ] = ∫ 0 ∞ X ( t ) e − s t d t X(s) = L[X(t)]=\int_{0}^{\infty} X(t) e^{-st} dt X(s)=L[X(t)]=∫0∞​X(t)e−stdt

x ( t ) ∗ g ( t ) = ∫ 0 τ x ( τ ) g ( t − τ ) d τ x(t) * g(t) = \int_0^{\tau} x(\tau) g(t-\tau) d \tau x(t)∗g(t)=∫0τ​x(τ)g(t−τ)dτ

证明： L [ x ( t ) ∗ g ( t ) ] = X ( s ) G ( s ) L[x(t) * g(t)]=X(s)G(s) L[x(t)∗g(t)]=X(s)G(s)

L [ x ( t ) ∗ g ( t ) ] = ∫ 0 ∞ ∫ 0 t x ( τ ) g ( t − τ ) d τ    e − s t d t = ∫ 0 ∞ ∫ τ ∞ x ( τ ) g ( t − τ )    e − s t d t    d τ 令 : t − τ = u t = u + τ d t = d u + d τ = d u t ∈ [ τ , ∞ ) ⇒ u = t − τ ∈ [ 0 , ∞ ) = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ x ( τ ) g ( u ) e − s ( u + τ ) d u    d τ = ∫ 0 ∞ x ( τ ) e − s τ d τ ∫ 0 ∞ g ( u ) e − s u d u = X ( s ) G ( s ) \begin{aligned} L[x(t)*g(t)] &=\int_{0}^{\infty} \int_0^{t} x(\tau) g(t-\tau) d \tau \; e^{-st} dt \\ &=\int_{0}^{\infty} \int_{\tau}^{\infty} x(\tau) g(t-\tau) \; e^{-st} dt \;d \tau \\ & 令: t-\tau = u \quad t=u+\tau \quad dt=du+d\tau=du \\ &t\in[\tau,\infty) \Rightarrow u=t-\tau \in [0,\infty) \\ &=\int_0^{\infty} \int_0^{\infty} x(\tau)g(u) e^{-s(u+\tau)}du\;d\tau \\ &=\int_0^{\infty}x(\tau)e^{-s\tau}d\tau \int_0^{\infty}g(u)e^{-su}du\\ &=X(s)G(s) \end{aligned} L[x(t)∗g(t)]​=∫0∞​∫0t​x(τ)g(t−τ)dτe−stdt=∫0∞​∫τ∞​x(τ)g(t−τ)e−stdtdτ令:t−τ=ut=u+τdt=du+dτ=dut∈[τ,∞)⇒u=t−τ∈[0,∞)=∫0∞​∫0∞​x(τ)g(u)e−s(u+τ)dudτ=∫0∞​x(τ)e−sτdτ∫0∞​g(u)e−sudu=X(s)G(s)​

结论： L ( x ( t ) ∗ g ( t ) ) = L [ X ( t ) ] L ( G ( t ) ) = X ( s ) G ( s ) L(x(t)*g(t))=L[X(t)]L(G(t))=X(s)G(s) L(x(t)∗g(t))=L[X(t)]L(G(t))=X(s)G(s)

原视频： https://www.bilibili.com/video/av26446618