排列组合

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分组和分配

[题目] 按照下列要求分配 6 6 6 本不同的书，各有多少种不同的分配方式？

⑴. 分成三份(堆)， 1 1 1 份 1 1 1 本， 1 1 1 份 2 2 2 本， 1 1 1 份 3 3 3 本 ；

分析：无序不均匀分组问题， C 6 1 × C 5 2 × C 3 3 = 60 C_6^1\times C_5^2\times C_3^3=60 C61​×C52​×C33​=60；

或者相当于先从 6 6 6 本中任取 1 1 1 本 C 6 1 C_6^1 C61​ 种放成一堆，再从剩余的 5 5 5 本中任取 1 1 1 本 C 5 2 C_5^2 C52​ 种放成一堆，再从剩余的 3 3 3 本中任取 3 3 3 本 C 3 3 C_3^3 C33​ 种放成一堆，到此分成了符合要求的三份，事件完成，故有 C 6 1 × C 5 2 × C 3 3 = 60 C_6^1\times C_5^2\times C_3^3=60 C61​×C52​×C33​=60；

⑵. 甲、乙、丙三人中，一人得 1 1 1 本，一人得 2 2 2 本，一人得 3 3 3 本

分析：有序不均匀分组问题，先分组再分配到人手中。

C 6 1 × C 5 2 × C 3 3 × A 3 3 = 360 C_6^1\times C_5^2\times C_3^3\times A_3^3=360 C61​×C52​×C33​×A33​=360

⑶. 平均分成三份，每份 2 2 2 本

分析：无序均匀分组问题， C 6 2 × C 4 2 × C 2 2 A 3 3 = 15 \cfrac{C_6^2\times C_4^2\times C_2^2}{A_3^3}=15 A33​C62​×C42​×C22​​=15

[问题]为什么必须要除以 A 3 3 A_3^3 A33​ 呢？

解释：先分为三份，则应该是 C 6 2 × C 4 2 × C 2 2 C_6^2\times C_4^2\times C_2^2 C62​×C42​×C22​ 种方法；但是这里出现了重复。不妨记 6 6 6 本书为 A A A、 B B B、 C C C、 D D D、 E E E、 F F F，若第一步取了 A B AB AB ，若第二步取了 C D CD CD ，若第三步取了 E F EF EF ，标记该种分法为 ( A B , C D , E F ) (AB,CD,EF) (AB,CD,EF)，则 C 6 2 × C 4 2 × C 2 2 C_6^2\times C_4^2\times C_2^2 C62​×C42​×C22​ 种方法中还有 ( A B , E F , C D ) (AB,EF,CD) (AB,EF,CD)， ( C D , A B , E F ) (CD,AB,EF) (CD,AB,EF)， ( C D , E F , A B ) (CD,EF,AB) (CD,EF,AB)， ( E F , A B , C D ) (EF,AB,CD) (EF,AB,CD)， ( E F , C D , A B ) (EF,CD,AB) (EF,CD,AB)，共有 A 3 3 A_3^3 A33​ 种情况，而这 A 3 3 A_3^3 A