椭圆曲线上两种基本的运算：点集运算、P+Q详解

RSA密码体制在我们现在还是非常常用的，但是当今，计算机运算速度之快给该加密方式带来了一定的威胁，为了保证安全性，它的密钥长度需要一再地增大，使其运算负担也随之增大。相比下，椭圆密码体制ECC（elliptic curve cryptography）可以用短得多的密钥获得同样的安全性，因而具有广泛的前景，如果没记错的话，区块链技术就有用到椭圆曲线密码体制，感兴趣的小伙伴可以了解了解。

在密码中，比较普遍的是采用有限域的椭圆曲线，有限域的椭圆曲线指的是曲线方程y2+axy+by=x3+cx2+dx+e（一般形式）中，所有系数都是某一有限域GF（p）中的元素（其中p为一个大素数）。（GF（p）是定义在整数集合{0, 1, 2, …, p-1}上的域，GF（p）上的加法和乘法分别是模加法和模乘法）。其中最常用的曲线方程是y2≡x3+ax+b(mod p)（其中a，b属于GF（p），4a3+27b2≠0）。

查阅了很多网上的资料，椭圆曲线上的点集计算大多数的人都是通过代码或者伪代码（大多都是用暴力穷举）来表示给我们看。但是对于需要考试，用笔计算的我来说可能不太适用，所以在此，想和大家分享下动笔计算的方法。

以我们假定的椭圆曲线为例，即：椭圆曲线方程为：y2≡x3+x+1，p=23。所以满足a，b属于GF（p），4a3+27b2≠0。下面就开始计算点集E23(1,1)，我们可以进行计算第一象限的点集，即{(x, y)|0