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【数学】积分法推导求圆的周长、弧度

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【数学】积分法推导求圆的周长、弧度

2024-07-14 06:46| 来源: 网络整理| 查看: 265

【圆的周长】

我们知道圆的周长是 $C=2\pi r$ 那么使用微积分的思想是如何推倒的呢，下面请看思路：

看上图左，表明了两件事情，一个是圆的参数方程，参数为角度θ，其中由图左可以得出圆上的任意一点P(x, y)，

其中 $x=rcos\theta$ $y=rsin\theta$ 由图左考虑图中灰色阴影部分，角度增加了 $\Delta \theta$ ，那么弧长增加了 $\Delta C$ ，那么针对 $\Delta \theta$ ， $\Delta x$ (右图中红色）， $\Delta y$ (右图中蓝色的部分），则近似有：

$\Delta C=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$ 使用微分的思想则有 $d C=\sqrt{(d x)^{2}+(d y)^{2}}$

我们分别对 $x=rcos\theta$ $y=rsin\theta$ ，求θ对于x的导数，则有： $d x=-rsin\theta d \theta$ $d y=rcos\theta d \theta$

则 $d C=\sqrt{(rsin\theta )^{2}+(rcos\theta )^{2}}d\theta$

我们对θ在[0, 2 $\pi$ ]的范围内求定积分有：

$C=\int_{0}^{2\pi }r\sqrt{(sin\theta) ^{2}+(cos\theta) ^{2}}d\theta=\int_{0}^{2\pi }rd\theta =2\pi r$

【弧度】

弧度的定义是弧长等于半径时的弧度值为1，由周长则很容易得出整圆的弧度是 $2\pi$

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