2022全国数学新高考1卷真题及答案参考

一、选择题 共40分

1. 若集合M={x|√x 2

|OA|²=2

C正确

|BP|²·|BQ|²=[x1²+(y1+1)²][x2²+(y2+1)²]

=(x1²+y1²+1+2y1)(x2²+y2²+1+2y2)

=(3x1²+x14+1)(3x2²+x24+1)

=9+ 3x2²+3x1²+3x1²+1+ x14+3x2²+x24+1

= 11+6(x1+x2)²-12+(x1²+x2²)²-2

=-3+6k²+(k²-2)²

=k4+2k²+1

|BP|·|BQ|=k²+1>5

|BA|²=5

D正确

选择BCD

12.已知函数f(x)及其导函数f’(x)的定义域均为R，记g(x)=f’(x)，若f(1.5-2x)，g(2+x)均为偶函数，则

A． f(0)=0    B. g(-0.5)=0    C. f(-1)=f(4)    D. g(-1)=g(2)

解析：根据题意f(1.5-2x)=f(1.5+2x)，x=1.5是对称轴，C正确

g(2+x)=g(2-x)，x=2是g的对称轴

f(x)=cos[π(x-1.5)]+1时满足题意

此时f(0)=1，g(-0.5)=0，g(-1)≠g(2)，AD错

选择BC

三、填空题 共20分

13.(1-y/x)(x+y)^8的展开式中x²y^6的系数为____ (用数字作答)

解析：原式=(x+y)^8-y(x+y)^8/x

(x+y)^8中x²y^6的系数为，C(6,8)=28

-y(x+y)^8/x中x²y^6的系数为，-C(5,8)=-56

填-28

14.写出与圆x²+y²=1和(x-3)²+(y-4)²=16都相切的一条直线方程____

解析：一个是单位圆，一个是半径为4圆心为(3,4)的圆，发现两圆相切

那么与圆心连线垂直的就是一条切线，切点为(0.6,0.8)，斜率为-0.75

填y=-0.75x+1.25

15.若曲线y=(x+a)e^x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是____

解析：y’=(x+a+1)e^x，当x=-a-1时取极小值，此时y=-e^(-a-1)0才存在两条切线，此时a>0且-a-10

若-a-1>0，y”=(x+a+2)e^x，x>-a-2时y”>0函数向上凹，xb>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1,F2，离心率为0.5，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是____

解析：根据离心率是0.5，可设DE的方程为y=x/√3+c/√3，那么

同理

填13

四、解答题 共70分

17.(10分)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，{Sn/an}是公差为1/3的等差数列

(1)求{an}的通项公式

(2)证明:1/a1+1/a2+…+1/an0)上，直线l交C于P,Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0

(1)求l的斜率

(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积

解析：(1)设AP,AQ的方程为y=kx+1-2k,y=-kx+1+2k，A在双曲线上，分别代入有

同理

(2)由于AP,AQ斜率和为0，且tan∠PAQ=2√2，设k>0有

根据渐近线斜率，舍

根据(1)

同理

22.(12分) 已知函数f(x)=e^x-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值

(1)求a

(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列

解析：(1)由于a≤0时不满足条件，因此a>0

f’(x)= e^x-a

f在x=ln a时取最小值

g’(x)=a-1/x

g在x=1/a时取最小值，若有相同最小值，那么

a-alna=1-ln(1/a)

a=1

(2)根据图像知，f与g，存在交点，并且此时y=b与两函数图像将出现三个不同交点

那么有

e^x-x=b

x-lnx=b

设共同交点横坐标是m

设函数h(t)= e^(m-t)-(m-t)-[(m+t)-ln(m+t)]

h(t)= e^(m-t)-2m+ ln(m+t)

当t很大时h(t)>0

h’= -e^(m-t)+1/(m+t)

根据增减趋势，设当t=u∈(-m,0)时h’=0

t0时h’=0

t>v时e^(m-t)0

当t∈(u,v)时, e^(m-t)>1/(m+t)

h’